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Übungen IV. 
1. Wie groß ist der Abstand der Leitlinie vom zunächst 
liegenden Brennpunkte für die Ellipse, ausgedrückt durch a und e, 
wie für die Hyperbel? 2. Man zeichne die nötige Figur und 
führe den Beweis für das Verhältnis von Leitstrahl zu Brenn 
strahl bei der Leitkreisellipse im Falle, daß Punkt X (Fig. 9) 
nicht zwischen M und F 1 , sondern zwischen M und F 2 fällt. 
3. Dasselbe, falls P. 2 so liegt, daß X zwischen F t und A, ferner, 
so daß X zwischen F 2 und A 2 fällt. 4. Welche Lehrsätze w r erden 
bei dem Nachweise benutzt, daß für die Leitkreisellipse Leitstrahl 
zu Brennstrahi jedes Punktes im selben Verhältnisse steht? 
5. Man führe den Beweis durch, indem man zuerst den Wert von 
_(_ F t X ableitet usw. 6. Man führe den Beweis durch für die 
Leitkreishyperbel, und zwar für den Fall, daß P 3 Y seinen Fuß 
punkt Y zwischen A und F 1 hat. 7, Dasselbe für andere Lage 
des Hyperbelpunktes auf dem durch A gehenden Zweige. 8. Das 
selbe für einen Punkt des rechts gelegenen Hyperbelzweiges 
(Fig. 9). 9. Man lasse die Spitze des Kegels in Fig. 7 b sich von 
0 bis nach A und darüber hinaus bew'egen und gebe an, in 
welcher Weise sich die Art des Kegelschnittes für die feststehende 
AF l} senkrecht zum Papiere, dabei ändert. 10. Man suche die 
selbe Änderung nach Fig. 7 a zu beschreiben. 11. Man führe die 
Fig. 7 a und 7 b mit den entsprechenden Punkten G und F 2 
einzeln aus für die Fälle, daß die Kegelspitze nahe bei 0, bei 0 ± , 
bei D und bei A und zwar jedesmal nach einer oder der anderen 
Richtung von diesen Punkten aus gerechnet (8 Fälle). 12. Man 
beweise, daß die große Achse der Ellipse durch einen Brennpunkt 
und die zugehörige Leitlinie (Leitgerade, directrix) harmonisch 
geteilt wird, d. h. daß sich der erste Abschnitt zum zweiten wie 
das Ganze zum dritten verhält. 13. Es sei für einen Kegelschnitt 
das Verhältnis e von Brennstrahi zu Leitstrahl unendlichklein,