58
m ■
m-J ‘■■
I : ' • ■•>..
" , V •••' ':
Für die Lehre von den Weitenbehaftungen lassen sich die Nachweise für
alle Einzelschnitte auf einmal führen, mittels einer Figur wie 6, weil wir zeigten,
daß eine Parabel für das Endliche zugleich eine Ellipse oder Hyperbel für
höhere Schaffungen ist, der Satz aber, wenn er für eine Schaffung gilt, ent
sprechend bei einer Kurve auch für die Schaffung derselben mit anderer Weiten
vorstellung gelten muß. Eine Tangente, wie die durch P 4 in Fig. 6 gehende,
liegt unendlich weit von dem Gebiete der Kurve, wofür sie parabolisch ist
(endliche Gegend von P\), aber sie ist trotzdem eine Tangente für die im
Endlichen als Parabel vorzustellende Kurve, in einem be
stimmten, um co 2 entfernten Punkte P 4 , dieser alsdann eine
Ellipse (bzw. Hyperbel) vorstellenden Kurve.
Satz 2. Seit neiden sich zwei Tangenten eines
Kegelschnittes in einem Punkte B (Fig. 5 und 6), so
bildet jede mit eine in Brennstrahl von k denselben
Winkel wie die andere Tangente mit dem anderen
Brennstrahl von B. (Satz über die Winkel am Tangenten
schnitt.)
Zum Beweise muß man benutzen, daß B erstens auf dem
Mittellote von L. 2 F X (Fig. 5), zweitens auf dem von L 1 F 1 liegt.
Man erhält durch die Verbindungen BL. 2 und JRF 1 einen Winkel
bei B und durch BL ± und BF X einen zweiten (mau zeichne die
Figur besonders) bei B, beide werden durch die entsprechende
Tangente halbiert. Es ist nun BL l = BL 2 , weil beide gleich
BF X sind (entsprechend für die Ellipse in Fig. 6 ist BL S =BL 4 ),
also geht die Winkelhalbierende von Winkel L X BL. 2 (der aus
jenen beiden Winkeln durch Subtraktion oder algebraische Addi
tion entsteht) für die Parabel parallel zur Achse, schneidet die
selbe im Unendlichen, und für die Ellipse (bzw. Hyperbel) nach
Fig. 6 als Mittellot einer Sehne des Leitkreises nach dem Mittel
punkte F 2 desselben.
Der Beweis ist für alle drei Kegelschnitte auf einmal zu führen nach dem
genannten Übungssatze der Kurven für Fig. 6, indem P 2 für die Parabel
existiert.
Danach ist der Beweis von Satz 2 nicht schwer.
