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Onde applicandovi la formola di Maclaurin col resto di Lagrange 
si troveranno, a seconda del termine cui si arriva: 
x 3 x 3 x in — 1 
sen ¿e = ¿c — 4- — 7 _ 
3! ^ 5! (4 n — 1)! 
x 3 , x 4 n — 1 
sen x — x — ^ 4- — 
3! ' (in— 1) ! 
x 3 , x 5 n + 1 
sen x = x — — 4- 4- — 
3! ' ' (4«4l)! 
X 3 X in + Ì 
sen x = x prr- 4" 4- — 
3! ~ ' (in 
+ 
+ 
11 resto, sotto qualunque forma si consideri, 
scere indefinitamente di n, quindi 
x in 
(4 n)\ sen9 *’ 
X in + 1 
COS 0 X . 
(4 n + 1)! 
XÌn + 2 
sen 0 x 
(4n+2)! 
X in + 3 
COS 0 X. 
(in + 3)\ 
tende a zero col ere- 
(xfò 
sen x — x — 
Se si suppone 0 < x < , anche Qx sarà compreso fra gli 
stessi limiti, e sen qx e cos qx saranno positivi ; onde si deduce che 
se nella serie di sen x ci arrestiamo ad un termine con x 4 n ~ ov 
vero con x 4n + l si ha un resto positivo o negativo, ossia il risultato 
è alternativamente minore e maggiore di sen x\ quindi si hanno le 
disuguaglianze : 
sen x < x, sen x > x — ~ , sen x < x — ~ 4- ~ .... 
74. — In modo analogo, posto f(x) = cosx, si deduce: 
/‘( 4 n ) (x) = cos x, f( 4n + h (x) = — sen x, 
f {4 n < 2) (x) = — cos x, n + 3 ) (x) = sen x, 
che, per x ~ 0, si riducono rispettivamente a : 
1, 0, - 1, 0. 
Onde applicando la formola di Maclaurin, col resto sotto la forma