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Tuttavia, volendosi lo sviluppo in serie di are tang x, si può pro 
cedere nel modo che segue. Si ha 
r (a) = =i-x'+x‘- +(-1)— a>*—+ , 
quindi ponendo 
are tang a? = a? — ~ f — + (— l)”- 1 +(— i)*R{x) 
la funzione R{x) si annulla per x = 0, ove si prenda per are tango? 
il più piccolo arco avente per tangente x, e la sua derivata è 
R'{x) 
x 2n 
1 +ar>' 
Si ricorra alla formula 
R[x) — R(0) __R'(Qx) 
cp (x) — cp (0) cp' (0£C) ’ 
QQ2/1 -f- I 
e pongasi cp (x) = ; sarà q>\x) = x* n , R (0) = 0, cp (0) = 0, 
e sostituendo 
ìc 2 ” + 1 (Qx) 2n 1 aj2n+i 1 
2n+i 1 -f {Qxf (037)2" 2n+l r+02^2 
essendo 0 < 0 < 1, Ora se x è in valore assoluto minore od eguale 
ofén 1 
ad 1, 2n ^_i ha per limite zero col tendere di n ad oo, mentre 
1 
l + e 2 «?* e sem P re < onde lim J R(o?) = 0 per n = oo, e 
V 
^3 /y»5 /y»7 
are tang x = x g- -f" - g ^ + 
per tutti i valori di x non maggiori dell’unità in valor assoluto. 
Se x ì > 1, la serie è manifestamente divergente.