— 94
onde
9 e«- 1 ) {x) = {x) — (n — 1) ! f{x x x ì x n )
e ponendo x = u, si ha
onde
cp («- 1 ) (u) = /'(«-h (u) — (n — 1) ! f{x i x»_ x n ) — 0,
f{pc i Xt
x„) =
/■ (*»-!) (u)
y^ijT
formula che esprime la funzione interpolare d’ordine n — 1 in
funzione della derivata dello stesso ordine corrispondentemente ad
un valore della variabile medio fra i valori attribuiti alla medesima.
Se la derivata d’ordine n — 1 è continua, facendo tendere le
x^x^ x n ad uno stesso valore x 0 , anche u tende ad x 0 , e
onde
lira f («—!) (u) = fi«- 1 ) (x 0 ),
lini f{x i x. r
f
n) ~ (n—1)! •
87. — La funzione cp (x) = f(x) — F(x), che rappresenta l’errore
che si commette prendendo invece della funzione f{x) il polinomio
intero F {x), si può esprimere mediante funzioni interpolari. Invero
il polinomio di grado n, che pegli n-\-i valori x t x 2 x n x 0 as
sume gli stessi valori di f{x), è
f{po x )-\-{pc—x i )f{x i +(£c—x v ) (x—xn-i) f(x t x^ x n )-{-
+ (x — x,) (x—x n ) f{x l x*_ x n x 0 )
facendo in esso x = x 0 , il suo valore diventa f(x 0 ), e scambiando
poi x 0 in x si ha
f{x)z=f[x i )^ r {X—X ì )f{X l X^-[- -^(X—Xi) {X—Xn-l)f{X x X^ ££„)+
+ O— Xi) {pc— X n ) fipGi oo^ x n x),