Così p. es. la serie 
, ^ x* a? 
, № ì 2!’ 3!’ 
è convergente qualunque sia x, reale o complesso, perchè, detto r 
il modulo di x, i moduli dei termini formano la serie 
r 2 r s 
y ? "gf ? 31 ? • • • ° • 
che è convergente, ed ha per somma e r . 
145. Teorema. — Se le serie 
u 0 , u 4 , u 2 , (1) 
e 
v 0 > v t , v*, (2) 
sono convergenti, e sono pure convergenti le serie formate coi 
moduli dei loro termini 
e 
la serie 
^0 > ) 
h©, h A , 
w 0 , , 
) 
h 2 , ••« •. 
w 2 , 
(3) 
(4) , 
(5) 
in cui 
W 0 = U 0 V 0 , W^UoVi + U.Vo, W,= U 0 V S + U 1 V 1 + U # V 0 , 
Wn = u 0 Vn -f u i Vn- 1 + -f- Un V 0 
è convergente, ed ha per somma il prodotto delle somme delle due 
serie date. 
Dimostreremo dapprima il teorema sulle serie (3) e (4) formate 
coi moduli dei termini, ossia sulle serie a termini positivi.