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si ha 
e i(x+y) — cos x cos y — sen x sen y -f- i (cos x sen y -f- cos y sen x), 
ossia 
cos {x+y) + i sen (x -f- y) = 
cos a? cos y — sen x sen y -{-¿(cos x sen y cos y sen x) ; 
scambiando in essa x ed y in —x e —y si ha 
cos {x-\-y) — i sen {x -\-y) = 
cos x cos y—sen x sen y — i (cos x sen y -j- cos y sen x), 
onde, si ricavano le formule per l’addizione degli archi 
cos {x-\-y) = cos x cos y — sen x sen y , 
(10) 
sen (x-\-y) = cos x sen y cos y sen x , 
che valgono qualunque siano x ed y, reali o complessi. 
Da queste ultime formule si ricava 
cos {x 4- iy) — cos x cos iy — sen x sen i y, 
sen{x-|-iy) — sen x cos iy + cos x sen iy, 
ed in virtù delle (6) 
e y _i_ e -y g-y—ey ,e y —e~ y 
cos iy = —^—. sen iy— — = 2—-—, 
onde, se y è reale, cos iy è pure reale, e sen iy è immaginario 
puro ; onde sostituendo nelle ultime formule, supposto x ed y reali, 
si ha cos {x-\-iy) e sen (x + iy) ridotti alla forma a-\-J)i. 
148. — Le funzioni e * e —^— presentano molta ana 
logia colle funzioni circolari coseno e seno, e, benché si esprimano