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mediante esponenziali, e quindi non siano funzioni nuove, tuttavia 
si imposero loro i nomi di coseno iperbolico e seno iperbolico, e 
si rappresentano scrivendo 
pX -L- p-— X 
Ch £c = —^ e Sha? = 
(11) 
2 
e si ricavano con tutta facilità le formule 
Gh(—x) = Chx, Sh(—x) =— Sha;. 
Slio? — H——h —f- 
e x = Ch x -f Sii a? 
e~ x — Ch.x— Sh x, 
cos ix — Gh x, sen ix = i Sh x, 
Ch {x -f- y) — Ghm Ghy + Sha; Sh?/ 
Sh(a;-j-i/) = Sha; Ghi/-|-Gha;Sh?/. 
Le altre funzioni trigonometriche si definiscono mediante le loro 
espressioni in funzione del seno e del coseno, le quali sono i risultati 
di dimostrazione se x è reale; cosi per x complesso si pone 
ovvero, esprimendo tutto mediante esponenziali 
1 e»»—e~ ix 
(12) 
tang x = — 
■ i e ix -\-e~ ix ' 
Si dà una definizione analoga per la tangente iperbolica, e si pone 
Tha; 
Sh# e x — e~ x 
Ch# e* -j- e~ x 
onde si ha 
tan ix = i T h x, ecc.