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151. — Diremo che a? = are sen 3, ovvero ¿c = arccos3 se 
sen#=3, ovvero cos ¿c = 3. Queste funzioni circolari inverse si 
possono facilmente ridurre ai logaritmi. Invero, prendendo i loga 
ritmi d’ambo i membri dell’eguaglianza (4) si ha 
(14) ix = log (cos x -f- i sen x), 
e se si pone in essa sen x = z, onde cos x — y 1 — z ì , e 
x — are sen £ , si ha 
(15) are sen 3=4 log ((/1—3 2 -f- iz) ; 
analogamente, ponendo nella formula (14) 
cos x = z, sen x = l/l — z*, x = are cos z, 
si ha 
(16) are cos 3 = 4- log (z + il/1>—3 1 ) . 
Esaminando la formula (15), si scorge che dato 3, l’espressione 
l/r^ z ì -f- iz ha due valori corrispondenti al doppio valore del 
radicale ; ad ognuno di essi corrispondono ancora infiniti valori di 
are sen 3, perchè il logaritmo ha infiniti valori. Se 3 è reale e 
<1, 3 S è reale, il modulo di |/1 — 3 2 -\-zz è l’unità, il 
logaritmo di questa quantità è immaginario puro, e dividendo per 
i si ha are sen 3 reale. Ma se 3 è reale > 1, ovvero immaginario, 
risulta immaginario anche are sen 3. Cosi ad esempio, l’espressione 
aresen2 = -4 log {[/—3-{-22') = 4-logi{[/3-f-2) 
i » 
—X log' {[/3 + 2) -f- i^2h -\--2 j 711