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Diremo che la funzione w~f{z) ha derivata se, col tendere a 
zero della quantità complessa h, tende verso un limite la quantità 
Aw __ f(z + h) — f(z) 
A z h ’ 
e questo limite è il valore della derivata f {z) corrispondentemente 
al valore considerato di z. 
153. — Pongasi 
u = cp {x, y) , V = {x, y) 
e 
hìi —}— il, 
ove h ed l sono quantità reali. Si avrà: 
f{z) = cp {x, y) + iy (x, y) 
e 
f{z-\-h) — q>{x-\-h,y-\-l) + i\y {x + k, y +1), 
onde 
Aio .... [<p (a? + h, y + V) — qp (a?, y)] + i [vp {x + k, y + l) — vp (a;, y)] 
A^ k -{-il 
Se w ammette derivata f'{z), la quantità tende verso f{z) in 
qualunque modo si faccia tendere Az a zero. Suppongasi dapprima 
in Az=h=k+il, nulla la parte immaginaria l; si avrà: 
lim <P (ce + k, y) — qp (x, y) + i [> (a? + k, y) — vp (x, y)] __ ^ ^ 
ed affinchè ciò avvenga, debbono tendere verso limiti la parte reale 
ed il coefficiente di i ; quindi le funzioni cp e ig ammettono derivate 
parziali rispetto x, e si avrà 
f (*) = qp'* (x, y) + i y'x {x, y).