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Suppongasi invece in Az nulla la parte reale h; si avrà: 
lim <p y + 0 — <p (”» y) +*'l> (a?, y + Q — M> (*. y)] _ f, ^ 
i 1/ 
e quindi con ragionamento analogo si deduce resistenza delle deri 
vate parziali di qp e vp rispetto y, e 
f (*) = V'jr (a?, y) — i <p’ y {x, y). 
Paragonando questa espressione di f'{z) colla precedente, colla 
quale deve essere identica, si ha : 
<P» {x, y) = qj' y {oc, y) e xy'x {oc, y) = — <p,' {x, y), 
ossia : 
Affinchè w=u+iv sia funzione di z=x+ iy, è necessario che 
le funzioni reali u e v delle variabili reali x ed y soddisfino alle 
equazioni 
du dv du dv 
dx dy ’ dy dx 
Se si deriva la prima equazione rispetto x, la seconda rispetto y, 
... cPv cPv . 
e se si ritiene , , si ricava 1 equazione 
dx dy dy dx 
dPu , d?u A 
dx 2 ' dy 1 — °’ 
equazione a derivate parziali di secondo ordine, in cui non entra 
che la funzione u. In modo analogo, derivando la prima equazione 
rispetto y e la seconda rispetto x, e sottraendo si ha 
dH ! d?v A 
~dà? '~dy*~ 0, 
ossia anche v soddisfa alla stessa equazione a derivate parziali cui 
pure soddisfa uc.