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^ (^S-l > X) = ^ #.) > 
come risulta dalla ultima diseguaglianza. Sia F{x) il limite inferiore 
dei valori che assume qp {x), conservando fisso x, e variando la 
divisione dell’in ter vallo {a, ti). Dico che la funzione F{x), che per 
x=a assume evidentemente il valore A, ha per derivata f{x). 
Infatti, dati ad x due valori X l ed X 2 > X d , ed eseguita una 
divisione arbitraria dell’intervallo (a, ti), e calcolata la 9 (x) cor 
rispondente, se X, cade nell’intervallo (x r _ v x r ) e X 2 in {x r _ v x s ), 
sarà 
<P(X,)=A + (off,—a)l{a, x 1 )^ r ...+{X i — x r _Jl{x r _ v x r ), 
e 
9{X^) = A-\-{x i —d)l{a, x l )-\-... + {x r —x r _ i )l{x r _ i , x r ) + ... 
Suddividasi l’intervallo (x r _ { , x r ) in {x r _ 2 , X d ) e (X d , x r ), e l’in 
tervallo {x,^, x s ) in (x s _ i , X 2 ) e (X 2 , x s ); e sia 9' {x) la funzione 
analoga a 9(3?) calcolata su questa nuova divisione dell’intervallo 
{a, ti). Sarà 
9' (X d )=A-\-(x i — a)l(a,x l ) + • • • + (X—x r _ x ) l{x r _,, X d ) 
e 
9' (X 2 )=A+{x, — a) l (a, x,) +... + (X,—x r _,)l{x r _,, X d ) + 
-f {x r —X d )l(X 15 0 + --- + (X 2 — a7 s _,)^(«?_*, X 2 ), 
quindi, paragonando le espressioni di 9' (X d ) e 9 (X d ), ed osservando 
che l (a?,_i, XJ^/^r-i, si ha 
<p'№)2<p№); 
analogamente, paragonando (p' (X 2 ) e <p (X 2 ), e osservando che 
(X — av_i) «(^r-i ,X)+(#>—X) * (X> a? r ) < (a? r —a? r _ d ) J(aj r _i, a? r ) 
e