§. 36. 
Aufgabe [53]. Die Gleichung der Rugelflache zu finden. 
Da, wie aus den Elementen bekannt ist, jeder Punkt der Kugelfläche 
eine constante Entfernung von ihrem Mittelpunkte hat, so haben wir, wenn 
r diese Entfernung oder, was dasselbe ist, den Radius der Kugelflache be 
zeichnet und wenn x', y, z' die Coordinaten des Mittelpunktes sind, nach 
§.2. (F. 3 u. 4), unmittelbar 
(z — z'y -+- (y — yy + (x — x') 2 -*-2(x—x')(y — /) cosi 
-H 2(x — x')(z — z')cosy -h 2(y — y')(z — z )cosx. — r 2 
wenn die Coordinaten schiefwinklig sind, und 
(z - z'y + (y - yy + (x - x') 2 = r 2 (I) 
in rechtwinkligen Coordinaten, als die verlangte Gleichung. 
Wir werden in dem gegenwärtigen Capitel die Coordinaten immer nur 
rechtwinklig annehmen. 
Liegt der Mittelpunkt der Kugelfläche im Anfangspunkte der Coordi- 
riaten, so ist die Gleichung der Kugelfläche 
z 2 +y 2 H-x 2 = r 2 . (2) 
Geht die Kugelflache durä) den Anfangspunkt der Coordinaten, so ist, 
wenn x', y', z' die Coordinaten ihres Mittelpunktes bedeuten, 
z 2 -^- y 2 -+- x 2 —2z'z — 2y'y — 2x y x — 0 (3) 
die Gleichung dieser Fläche, die wir aus der Gleichung (1) finden, wenn 
wir die jetzt Statt habende Bedingung z /2 +y /2 +x' 2 — r 2 berücksichtigen. 
Liegt außerdem der Mittelpunkt in der Achse der z, und ist daher x' — 0, 
y' — 0 und z! — dbr; so ist die Gleichung 
z 2 -}~ y 2 -f-x 2 — 2rz — 0 oder z 2 +y 2 +x 2 +2rz — 0 , 
je nachdem der Mittelpunkt auf der positiven oder auf der negativen Seite 
der Achse der z liegt. 
Aufgabe [54]. Die Gleichung 
z 2 +y 2 -f-x 2 -t-2az-}-2by-f-2cx + cl — 0 
einer Rugelflache ist gegeben. Es sollen die Coordinaten des XUittch 
Punktes und ihr Radius gefunden werden. 
Identificiren wir die gegebene Gleichung mit der Gleichung (4), fo