Flächen höherer Grade und transscendente Flachen. 
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Eine Oberfläche heißt Fläche vom n tm Grade wenn ihre Gleichung in 
rechtwinkligen oder schiefwinkligen Coordinaten x, y, z, vom n‘ c " Grade 
ist und diese Gleichung sich nicht in Faktoren zerlegen läßt, die in Bezie 
hung auf x, y, z rational sind. Läßt sich eine gegebene Gleichung zwischen 
den Coordinaten x, y, z in rationale Faktoren zerlegen, so drückt sie das 
System derjenigen Flächen aus, welche durch diese einzelnen Faktoren dar 
gestellt werden, und daher kann auch das System zweier Flächen, von denen 
die eine vom p ten , und die andere vom q tcn Grade ist, als eine Fläche des 
(p-hq)‘ fn Grades angesehen werden. 
Wenn eine Gleichung vom n tm Grade zwischen x, y, z so beschaffen 
ist, erstens daß sie für keine reellen Werthe von x und y, oder zweitens 
daß sie nur für einzelne, nicht continuirlich auf einander folgende, reelle 
Werthe von x und y, oder drittens daß sie nur für solche reelle Werthe 
von x und y, welche einer zweiten Gleichung genügen, reelle Werthe von z 
giebt; so hat sie in dem ersten Falle keine geometrische Bedeutung (siedrückt 
eine imaginaire Fläche aus), so stellt sie in dem zweiten Falle einzelne 
Punkte, endlich in dem dritten Falle eine Curve im Raume dar. So z. B-, 
wenn A, B, C und D ganze rationale Functionen von x, y, z bedeuten, 
die nicht zu gleicher Zeit verschwinden, drückt die Gleichung 
A 2 -j-B 2 + C 2 -hD 2 = 0 
keinen einzigen Punkt aus, weil ihr erster Theil, als die Summe von meh 
reren Quadraten, nur gleich Null seyn kann, wenn jedes einzelne Glied 
gleich Null wäre, was vier Gleichungen zwischen x, y und z geben würde, 
die nicht zu gleicher Zeit befriedigt werden können. — Die Gleichung 
A 2 + B a + C 2 = 0