§86, 57. 
Lamé’sehe Functionen. 
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*M r )*M r i) = r P y (cos 0) ip (o) sin 0 00, 
0 
was nach S. 67 nichts anders ist als die erste der Gleichungen (57). 
Zum Beweise der zweiten Formel geht man von 
{-—i) v ,2jT.ip r (r 1 )P v {Gosi0 1 )=J' P v {Q,md)smOddJ' e~ ir ' cosS dcp 
(J o 
aus, wenn cosd = cos 0 cos *0, -J-sin0sin*0, cos cp. Eine Multiplication 
mit e ircosid ' sin *0,60, und Integration von 0 bis oo giebt 
27Tifj v {r l ) l P v {r)=J" P v {o,osd)smO dd f d(fj* e l '( rco8W '“’ r > cos ^sini0 1 50 1 . 
o o o 
Man nehme an es sei jfir > <Mr x und mache über das Zeichen 
von r dieselben Annahmen wie früher über 0. Formt man dann 
den Faktor von i im Exponenten von e in 
<7(008*0, cos«-}-sin ¿0, sinacostf) 
um und wendet den Satz von Poisson an, so wird 
ipy (r,) (r) = J P r (cos 0) *F 0 (a) sin 0 dd 
o 
und damit die zweite Formel von (57) bewiesen. Um die Bedeutung 
der Formeln (57) klarer zu zeigen, setzt man für die tp und l F ihre 
Werthe durch 0,, sin0j, cos0. Macht man 
0\ — 0 2 ~ 200, cos9 + 0 2 , 
Q i = r h 0\ — Vn 
so erhält man die Additionstheoreme 
sin 0 ^ d v / sin 0, 
drj\ n 0, 
d v /sin0, 
icosrqp. 
sin0 ’ = 1(2.+1)(4 oe,r4 
», 
COS0, 
0, 
v=0 «i? 
' / sin 0 \ d v / sin 0, \ 
V J V 0 ( ) 
/cos 0 \ d v / sin 0, \ 
N 0 J~d?f t \d^~) 
cos^qp, 
Drittes Kapitel. 
Einführung und Eigenschaften der Lamé’sehen Functionen. 
Functionen des elliptischen Cylinders. 
§ 86. In der Einleitung wurde die partielle Differentialgleichung 
iZ + üü+iZ 
cte’ + dy' + ös’ ’