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Kap, VI. Der Pascalsche Satz. § 31, 32. 
meinen Satze 35 die räumlichen Axiome I 3—7 auch durch die 
ebene Forderung ersetzt werden, dass der Desarguessche Satz 
(Satz 32) gelten soll. 
§32. 
Das commutative Gesetz der Multiplikation im Archimedischen 
Zahlensystem. 
Die Beweise der Sätze 36 und 37 beruhen wesentlich auf 
gewissen gegenseitigen Beziehungen, welche für die ßechnungs- 
regeln und Grundthatsachen der Arithmetik bestehen und deren 
Kenntnis auch an sich von Interesse erscheint. Wir stellen die 
folgenden zwei Sätze auf: 
Satz 38. Für ein Archimedisches Zahlensystem ist das commu 
tative Gesetz der Multiplikation eine notwendige Folge der übrigen 
Rechnungsgesetze ; d. h., tvenn ein Zahlensystem die in § 13 aufge 
zählten Eigenschaften 1—11, 13—17 besitzt, so folgt notwendig, dass 
dasselbe auch der Formel 12 genügt. 
Beweis. Zunächst bemerken wir: wenn a eine beliebige Zahl 
des Zahlensystems und 
n = 1 -f- 1 -f* • • • -j-1 
eine ganze rationale positive Zahl ist, so gilt für a und n stets 
das commutative Gesetz der Multiplikation; es ist nämlich 
an = a (1 +1H (-1) = a • 1 + a • 1H (-«•!= a + a -f- • • • + a 
und ebenso 
na = (1 +1 -f- • • • -f- 1) a = 1 • et -f-1 - c® • • • —1 • öt = a + a -}- • • • -f- a 
Es seien nun im Gegensatz zu unserer Behauptung a, b solche 
zwei Zahlen des Zahlensystems, für welche das commutative Ge 
setz der Multiplikation nicht gültig ist. Wir dürfen dann, wie 
leicht ersichtlich, die Annahmen 
a>0, b> 0 ab — ba> 0 
machen. Wegen der Forderung 6 in § 13 giebt es eine Zahl c(>0), 
so dass 
(a + b +1) c = ab — ba 
ist. Endlich wählen wir eine Zahl d, die zugleich den Un 
gleichungen 
d> 0, dd, dcc 
genügt, und bezeichnen mit m und n zwei solche ganze rationale