Sechstes Kapitel.
Kegelschnitte.
Einleitende Sätze.
116. Jede Schnittkurve eines Rotationskegels mit einer
eigentlichen Ebene, die nicht durch die Spitze des Kegels geht,
heißt ein Kegelschnitt.
Das Wort Schnittkurve bezeichnet hier die Gesamtheit aller
Punkte (auch der unendlich fernen Punkte), welche der Kegel mit
der Ebene gemein hat. Da der Kegel den Inbegriff aller Punkte
bedeutet, die auf den Seitenlinien (die unendlich fernen Punkte
einbegriffen) liegen, kann jeder Punkt auf dem Kegelschnitt be
stimmt werden als Schnittpunkt der Ebene mit einer Seitenlinie
des Kegels. Der Punkt ist unendlich fern, wenn die Ebene der
Seitenlinie parallel ist; die Schnittkurve hat also höchstens zwei
unendlich ferne Punkte, kann aber auch nur einen einzigen oder
keinen unendlich fernen Punkt enthalten. Um diese verschiedenen
Fälle bequem darstellen zu können, benützen wir die durch die
Kegelachse (a) senkrecht zur Schnittebene (Z) gelegte Ebene TT
als Zeichenebeue. ln dieser Ebene zeichnen wir die Achse a, die
beiden Seitenlinien e und e x des Kegels, und die Spur s der
Ebene Z (Fig. 108—110). Der ganze Kegel wird nun senkrecht
auf die Zeichenebene innerhalb der beiden Winkel projiziert, die
von e und e 1 begrenzt werden und die Achse a enthalten. Sowohl
der Kegel wie auch die Schnittebene wird von der Zeichenebene
symmetrisch geteilt, und die Gerade s wird somit eine Symmetrie
achse der Schnittkurve.
117. Wir betrachten nun nacheinander die drei in den Fi
guren dargestellten Fälle:
Krster Kall: s schneidet e und e x in zwei Punkten A und A v
welche demselben Kegelmantel angehören (Fig. 108). Die Schnitt
kurve hat keinen unendlich fernen Punkt, weil es keine Seiten
linie gibt, deren Projektion zu s parallel ist. Wir zeichnen nun