Neuntes Kapitel. 
Kegelselmittfläclien. 
Die Tangentialebene und ihre Lage zur Fläche. 
226. Eine Kegelschnittfläche ist eine Flüche, die von jeder 
Ebene, wenn diese mehr als einen Funkt der Fläche enthält, in einem 
Kegelschnitte oder in zwei geraden Linien oder auch in zivei zu 
sammenfallenden Linien geschnitten tvird. 1 ) Wenn die Ebene die 
Fläche in zwei (verschiedenen oder zusammenfallenden) geraden 
Linien schneidet, so sagt man, die Schnittkurve sei ein uneigent 
licher Kegelschnitt. 
Im Vorstehenden haben wir bereits mehrere Beispiele für 
Kegelschnittflächen (Kreiskegel, Kreiszylinder und ümdrehungs- 
kegelschnittflächen) kennen gelernt. Wir wollen nun untersuchen, 
welche verschiedenen Formen von solchen Flächen überhaupt 
existieren. Zunächst müssen wir sicherstellen, daß die Fläche in 
jedem ihrer Punkte eine Tangentialebene hat. Dazu wird die 
Forderung hinreichen, daß die an der betreffenden Stelle berühren 
den Tangenten aller Kegelschnitte auf der Fläche, die durch den 
Punkt hindurchgellen, in einer Ebene enthalten sind. 
227. Zuerst betrachten wir eine willkürliche Kegel 
schnittfläche K, die keine gerade Linie enthält. Die Fläche wird 
1) Die folgenden Untersuchungen zeigen, daß die Kegel 
schnittflächen dieselben Typen umfassen wie die aus der analytischen 
Geometrie bekannten reellen Flächen zweiten Grades. Es ist in der 
Tat klar, daß jede (nicht zerfallende) reelle Fläche, die in rechtwink 
ligen Koordinaten durch eine Gleichung zweiten Grades dargestellt 
werden kann, eine Kegelschnittfläche sein muß, weil jeder ebene 
Schnitt der Fläche durch eine Gleichung zweiten Grades dargestellt 
werden kann. Die Theorie der reellen Flächen zweiten Grades ist 
somit in der Theorie der Kegelschnittflächen enthalten. Daß aber 
auch jede Kegelschuittfläche eine Fläche zweiten Grades sein muß, 
geht ebenfalls aus den hier folgenden Untersuchungen hervor.