Zehntes Kapitel. 
Raunikurven. 
Einfache Bögen im Raume. 
256. Unter dem Richtungskegel eines Kurvenbogens im 
Raume verstehen wir einen Kegel, dessen Seitenlinien zu den Tan 
genten des Bogens parallel sind. Die Spitze des Kegels kann be 
liebig gewählt werden. 
Der Bogen heißt einfach, wenn folgende Bedingungen erfüllt 
sind: 1. Kein Teil des Bogens darf eben oder geradlinig sein. 
2. Jeder Punkt des Bogens muß zwei entgegengesetzt gerichtete 
Halbtangenten haben. 3. Der Richtungskegel muß einfach sein, 
d. h. es muß wenigstens eine Ebene existieren, die ihn in einem 
einfachen ebenen Bogen schneidet, dieser Bogen kann dann als 
Leitkurve des Kegels benutzt werden. 4. Wenn ein Punkt M den 
gegebenen Bogen AB in einem bestimmten Umlaufssinne durch 
läuft, soll die Tangente in M ihre Richtung beständig derart 
ändern, daß die zugehörige Seitenlinie des Richtungskegels diesen 
kontinuierlich und monoton durchläuft (d. h. so, daß sie sich be 
ständig nach derselben Seite hin auf dem Kegel bewegt). Die eine 
Mantelhälfte des Richtungskegels bestimmt die Richtung der vor 
wärtslaufenden Halbtangente, die andere Mantelhälfte die Richtung 
der rückwärtslaufendeu Halhtangente. 
Da von dem Richtungskegel höchstens zwei Seitenlinien einer 
gegebenen Ebene parallel sind, können von dem Bogen höchstens 
zwei Tangenten der Ebene parallel sein. So kann man erkennen, 
daß eine Ebene nicht vier Punkte P, Q, E, S mit dem Bogen 
gemein haben kann, denn sonst müßte (nach 20l) jeder der Bögen 
PQ, QR., RS (wenn P, Q, R, S einander in dieser Reihenfolge auf 
dem Bogen folgen) mindestens einen Punkt enthalten, dessen Tan 
gente der Ebene parallel ist (dieses wäre nämlich der Punkt, der 
auf dem betrachteten Bogen von der Ebene den größtmöglichen 
Abstand hat). Folglich: Ein einfacher Bogen im Raume hat höch 
stens drei Punkte mit einer Ebene gemein.