Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
85 
Diese Gleichung mufs für irgend zwei Strecken b und c 
gelten, welche Seiten eines Dreiecks sein können. Wir setzen 
den gemeinschaftlichen Wert beider Seiten der Gleichung gleich 
k 2 , und erkennen-, dafs k 2 positiv, negativ oder unendlich grofs 
sein kann, aber notwendig von null verschieden ist. Demgemäfs 
ist für jeden Wert von b: 
*■ ' 1— ff(b)]« 
Ersetzen wir f'(b) durch -, so folgt: 
— db, 
und daraus ergiebt sich, wenn man berücksichtigt, dafs f und b 
gleichzeitig verschwinden: arc sin - = oder 
(8) f(b) = ksinp, f (b) = cosp* 
Indem wir diese Werte in (4) — (6) einsetzen, erhalten wir 
die Hauptsätze der Trigonometrie, nämlich: 
b c 
(9) sin p sin y — sin^ sin ß (Sinussatz). 
/■•j a\ • c ..ab . b a 
(10) sm r- cos a sin cos .- cos y — sincos , • 
k k k k k 
(11) cos p — cos p cos ~ -|- sin p sin p cos u (Cosinussatz). 
Für p— = 0 wird f(b)=b, f (b) = 1. Zugleich gehen die 
beiden ersten Gleichungen über in: 
b sin y = c sin ß, c cos a -f- a cos y = b, 
woraus die übrigen Formeln der gewöhnlichen Trigonometrie 
leicht hergeleitet werden können, während die Formel (11) nicht 
unmittelbar benutzt werden kann, da bei ihrer Herleitung die 
Konstante k 2 als von unendlich verschieden angenommen wurde. 
Euklids Voraussetzungen führen demnach, wofern man von 
der Unendlichkeit der Geraden und seinem fünften Postulat ab 
sieht, zu drei verschiedenen Formelsystemen für die Beziehungen 
zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Das eine 
dieser Systeme entspricht der euklidischen, das zweite der Lobat-