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Erster Abschnitt. § 26. 
verschiedene Möglichkeiten (§ 18): einmal können alle von einem 
Punkte ausgehenden geraden Linien noch durch einen zweiten 
Punkt gehen, zweitens können zwei gerade Linien, welche von 
einem Punkte ausgehen, in den Anfangspunkt zurückkehren, ohne 
einen weitern Schnittpunkt zu besitzen. Beide Möglichkeiten 
führen zu einem in sich abgeschlossenen, widerspruchsfreien 
Systeme, dessen Aufbau sich sehr einfach ergiebt (§ 19, 20) und 
für welches die trigonometrischen Formeln ganz denen der Sphärik 
entsprechen, so dafs die analytische Behandlung keinerlei Schwierig 
keit macht (§ 21). Die beiden Systeme zeigen eine grofse Über 
einstimmung, ohne jedoch identisch zu sein; die erstere Mög 
lichkeit möge nach Riemann benannt werden, welcher zuerst ihre 
Berechtigung nachgewiesen hat, die andere als deren Polarform 
oder auch als Kleinsche Raumform bezeichnet werden. 
Nach den durchgeführten Entwicklungen kann an der theo 
retischen Berechtigung der verschiedenen Raumformen nicht ge- 
zweifelt werden. Schon die mitgeteilten geometrischen Sätze 
machen es zum mindesten sehr unwahrscheinlich, dafs sich beim 
weiteren Aufbau ein innerer Widerspruch ergeben sollte; die Auf 
stellung analytischer Formeln, welche allen notwendigen Voraus 
setzungen der Geometrie entsprechen, schliefst eine solche Mög 
lichkeit ganz aus. 
Dadurch ist denn der tiefere Grund für die Lücke gefunden, 
welche sich in Euklids Elementen findet. Wenn die Geometrie 
mit voller Strenge aufgebaut wird, so darf sie keine Voraussetzung 
über die Unendlichkeit der Geraden und über die Parallelen- 
Theorie machen. Dann kann sie eine Reihe von Sätzen un 
mittelbar entwickeln; es sind vor allem die Sätze 1—15, 18— 26 
des ersten Buches Euklids, dann der erste Teil der Kreislehre 
(Buch III bei Euklid) mit Ausnahme des Satzes vom Peripherie 
winkel und der daraus fliefsenden Folgerungen, endlich manche 
Sätze der Stereometrie, und zwar zum Teil auch solche, bei deren 
Beweise Euklid die Parallelentheorie benutzt. Darauf spaltet sich 
die Geometrie in mehrere, theoretisch gleich berechtigte Zweige, 
und nur dann ist die Geometrie ein volles Ganze, wenn alle diese 
Möglichkeiten bis zu einem gewissen Abschlufs entwickelt werden. 
Es ist am natürlichsten, jede einzelne Figur nach den verschiedenen 
Möglichkeiten hin zu untersuchen. Dann erkennt man bei jedem