Berechtigung der nicht-euklidischen Rauraformen, 
95 
weitern Schritt die enge Zusammengehörigkeit (§ 22). In dem 
ganzen Gebiete der projektiven Geometrie (der Geometrie der 
Lage nach v. Staudts Ausdruck) zeigen die Sätze kaum eine Ver 
schiedenheit. Aber auch in den metrischen Sätzen tritt bei ge 
nauerer Betrachtung eine auffallende Zusammengehörigkeit hervor; 
man kann sagen, die eine Raumform ergänze die andere. Wenn 
man von den geringen Verschiedenheiten der endlichen Raumformen 
absieht, so kann der ganze Unterschied der behandelten Raumformen 
durch eine einzige Konstante 1 : k 2 charakterisiert werden. 
Wir fragen uns demnach: An welcher Stelle läfst man natur- 
gemäfs am besten die besprochene Teilung eintreten? Der im 
vorliegenden Werke eingeschlagene Weg kann unmöglich als 
naturgemäfs bezeichnet werden; er schliefst sich der wirklichen 
Auffindung recht eng an und läfst die Eigenschaften der einzelnen 
Raumformen ziemlich leicht auffinden. Aber die Zusammen 
gehörigkeit wird anfangs ganz verdunkelt und tritt erst an einer 
späteren Stelle hervor. Deshalb ist es von grofsem historischen 
Interesse zu erfahren, dafs ein sehr schöner Versuch, die ver 
schiedenen Raumformen aus einer gemeinschaftlichen Quelle her 
zuleiten, bereits vor mehr als 150 Jahren gemacht ist (§ 23). 
Saccheri geht von einer ganz einfachen Figur aus, für welche sich 
drei verschiedene Möglichkeiten ergeben, von denen wenigstens 
anfangs keine zurückgewiesen werden kann. Deshalb entwickelt 
er ganz streng nach Euklids Methode jede einzelne Möglichkeit 
und stellt so die ersten Sätze für die verschiedenen Raumformen 
auf. Leider läfst er sich dann, dem Vorurteil seiner Zeit folgend, 
dazu verleiten, sein eigenes Werk wieder umzustofsen. 
Eine andere Methode, die verschiedenen Raumformen aus 
einer gemeinsamen Quelle herzuleiten, ist in § 24 mitgeteilt. Für 
ein gewisses endliches Stück der Ebene werden Euklids Voraus 
setzungen als richtig angenommen; darin wird ein Dreieck ge 
zeichnet und dieses von einem Eckpunkt aus in unendlich kleine 
Teile zerlegt. Darauf läfst sich, wie streng nachgewiesen wird, 
die Rechnung anwenden, und man gelangt zu den verschiedenen 
Raumformen ohne jede weitere Voraussetzung, ist jedoch, wenn 
man nicht weitläufig werden will, genötigt, die ersten Sätze der 
Differential- und Integralrechnung zu benutzen. Ein zweiter Weg 
führt in § 25 zu demselben Resultate.