Die projektive Geometrie. 1)9 
wird sich die nötigen Ergänzungen mit Leichtigkeit selbst machen 
können. 
Während gewöhnlich (ob immer zum Vorteil, möge uner- 
örtert bleiben) die ebene Geometrie von der des Raumes getrennt 
wird, müssen wir im folgenden räumliche Beziehungen an die 
Spitze stellen. Die Notwendigkeit dieses Schrittes werden wir 
später begründen. 
Endlich bemerken wir noch, dafs wir der ganzen Unter 
suchung einen gewissen, allseitig begrenzten Raumteil zu Grunde 
legen. Wie derselbe begrenzt ist, kommt nicht in Betracht; der 
Leser kann etwa voraussetzen, wir blieben bei allen unsern Ope 
rationen im Innern einer Kugel oder, was den folgenden Ent 
wicklungen besser entspricht, im Innern eines festen Tetraeders. 19 ) 
Dabei sind für die §§ 2—6 die folgenden Sätze von wesentlicher 
Bedeutung: 
a) Durch irgend zwei Punkte im Innern des Körpers geht 
eine und zwar eine einzige gerade Linie. 
b) Wenn zwei gerade Linien einen Punkt im Innern des 
Körpers gemeinschaftlich haben, so treffen sie sich in keinem 
zweiten Punkte des Körpers. 
c) Durch eine gerade Linie und einen Punkt, welcher ihr 
nicht angehört, läfst sich eine einzige Ebene legen. 
d) Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinschaftlich haben, 
so schneiden sie sich in einer, und zwar einer einzigen geraden 
Linie. 
Auf diesen Sätzen suchen wir jetzt die projektive Geometrie 
aufzubauen. 
§ 2. 
Die harmonischen Gebilde. 
a) Wenn drei Punkte in gerader Linie gegeben sind, so 
kann man durch blofses Ziehen von geraden Linien einen vierten 
Punkt in derselben Geraden bestimmen, dessen Lage nur von 
den drei gegebenen Punkten, aber nicht von den bei der Zeich 
nung benutzten Linien abhängt. 
Die drei gegebenen Punkte seien A, B, C; durch die gerade 
Linie, in welcher sie enthalten sind, lege man eine beliebige 
Ebene und nehme in ihr einen Punkt x, ziehe Ax und Bx, 
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