Die projektive Geometrie. 
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jedesmal vier harmonische Punkte sind. Zieht man von S die 
Strahlen s 2 , s 3 . . . sy_i nach P 2 , P 3 . . . Pv_i und bezeichnet 
deren Schnittpunkte mit der zweiten Geraden als Q 2 , Q 3 . . . 
Q,;_ l5 so sind auch 
QcoQi Q0Q2, QdoQ.2Q.iQ.:! QcoQ'^-iQv-2Qv 
vier harmonische Punkte. Diese Eigenschaft sagt aber aus, dais 
(QaÄQiQv) = v ist. 
e) Das Doppelverhältnis der vier Punkte Pqo, IV, P^+i, 
Pfi+v ist gleich v. 
Wir können dies unmittelbar aus der obigen Figur ablesen. 
Gehen wir von den drei Punkten Pqq, IV, P,m+i aus und suchen 
jedesmal den vierten harmonischen Punkt nach dem Schema 
PooP^+iP^P^+z» ^coP/^+iP,« ; iP/i+s • • • • P00PiM+v—1 P^+v—2P(«+v, 
so sagt diese Konstruktion, dafs (PqoPuPm+iP^+v) = v ist. 
Man kann auch folgendermafsen schliefsen. Das Doppel 
verhältnis (PoqPjJV+iP^v) ist gleich dem Doppelverhältnis der 
von A aus nach diesen Punkten gezogenen Strahlen aoca^a^a^+r, 
also auch gleich dem Doppelverhältnis ihrer Schnittpunkte mit g t . 
Diese vier Schnittpunkte werden aber von B aus durch vier 
Strahlen projiziert, welche die gegebene Gerade in den Punkten 
PooP^-jP^Vpv-i treffen. Somit ist 
(PooP^P^+tP^+v) = (PqoP/M—iP^P^+r— 1) = 
(PooP^P^, P iit+ v- 2 ) = . . - = (PooPoPxPO- 
i) In der oben angegebenen Konstruktion möge jeder von 
A aus nach einem Punkte Pr gezogene Strahl mit ar und ebenso 
der von B ausgehende Strahl, welcher den Punkt Pr enthält, mit 
br bezeichnet werden. Dann beruht das Wesen der Konstruktion 
darin, dafs sich die Geraden b/< und ajedesmal in der festen 
durch Pqq gehenden Geraden gi schneiden. Allgemein schneiden 
sich die Geraden b// und a^ + v in einer von Pqq ausgehenden 
Geraden gr, und indem wir die gegebene Gerade als g 0 , die 
Gerade AB als bezeichnen, erhalten wir das Doppelverhältnis 
(googogig.-) = v. 
Beim Beweise haben wir mehrmals den unter d) angegebenen 
Satz zu benutzen, welcher besagt, dafs das Doppelverhältnis von 
vier Punkten auch den vier Strahlen zukommt, welche von einem 
beliebigen fünften Punkte nach den vier Punkten gezogen werden, 
und dafs das Doppelverhältnis von vier Strahlen auch das der