Die projektive Geometrie. 
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Verhältnisse ungeändert bleiben, so ist (PcoP«P/9Py) = (PooPa_i 
P^-jPy-i), also auch, wie man durch Wiederholung des Ver 
fahrens zeigt, gleich (PooPoP^-ßP^.ß). Für y — ce — v(ß — a) 
hat man also nur den unter g) bewiesenen Satz zu benutzen. 
i) Um auch den negativen Zahlen Punkte auf der Geraden 
zuordnen zu können, beachte man den Weg, welcher von P v 
zu Pr’_i führt. Verbindet man die Punkte A und IV durch a^, 
zieht von B nach dem Schnittpunkt von a^ und g, die Gerade, 
so wird diese Gerade die g 0 in Pv_i treffen. Demnach wird 
man die Punkte A und P 0 durch die Gerade a 0 verbinden, nach 
dem Schnittpunkte von a„ und gj von B aus eine Gerade ziehen 
und ihren Schnittpunkt mit g 0 als P_! bezeichnen. Ebenso ziehe 
man von A die Gerade a_i nach P_,, bestimme ihren Schnitt 
punkt mit g! und ziehe nach ihm von B aus die Gerade b_ 2 , 
deren Schnittpunkt mit g 0 den Punkt P_ 2 liefert. Ist man unter 
Fortsetzung dieser Operation nach P_v gelangt, so ziehe man 
nach ihm von A die Gerade a_ v und projiziere den Schnittpunkt 
von g t mit a.-v von B aus durch die Gerade b_ v _i auf g 0 , wo 
durch man zu dem Punkte P_v-i gelangt. 
Die symbolische Gleichung 
= (PooPoPi P-v) 
vertritt also die v Forderungen, dafs jedesmal die vier Punkte 
PqoPo P—i Pi ? PooP—iP—2Po > PooP—aP—»P—i • • • • PooP—v+iP—*P_v+ 2 
harmonisch liegen sollen. 
Diese Operation spiegelt geometrisch vollständig den Weg 
wieder, welcher algebraisch zu den negativen Zahlen führt. Dem 
nach müssen die vorhin für positive Zahlen abgeleiteten Gesetze 
auch für negative Zahlen bestehen bleiben. Wir dürfen also auch 
annehmen, dafs von den vier in h) benutzten ganzen Zahlen 
y — cc 
a , ß, Y, einige negativ sind. Speziell folgt, dafs die vier 
Punkte Poo, P 0 , P«, P_« harmonisch liegen. 
k) Wir haben die drei Punkte Pqq, P 0 , 1A in demjenigen 
Raumteile angenommen, auf dessen Untersuchung wir uns vor 
läufig durchaus beschränken. Dann liegt auch jeder Punkt, welcher 
irgend einer ganzen positiven Zahl entspricht, in demselben Raum 
teile. Wenn wir dagegen der Reihe nach die Punkte P_ l5 P_ 2 ...