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Die projektive Geometrie. 
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Wofern dieser Satz richtig ist, mufs das Doppelverhältnis 
ungeändert bleiben, wenn man sowohl den ersten und zweiten 
als auch den dritten und vierten Punkt mit einander vertauscht. 
Dies läfst sich sehr leicht zeigen. Sind A, B, C, D vier Punkte 
einer Geraden, so wähle man einen Punkt M beliebig, ziehe die 
Geraden MA, MB, MC und lege durch D eine neue Gerade, 
welche die drei von M ausgehenden Strahlen in E, F, G treffe, 
während der Schnittpunkt von AF und MC mit N bezeichnet 
werden möge; dann ist: 
(ABCD) = (EFGD) = (MNGC) = (BADC), 
da das erste Quadrupel von M aus auf das zweite, dies von A 
aus auf das dritte und dies endlich von F aus auf das vierte pro 
jiziert wird. 
Sind u und ß irgend zwei Zahlwerte, so ist das Doppel- 
ß 
Verhältnis (PqoPoP«?^) = weil der Satz in g) für beliebige 
Zahlen bestehen bleibt. Aus demselben Grunde ist (PooPoP/?Pß) = 
cc 
wodurch der Satz für die Vertauschung des dritten und vierten 
Punktes erwiesen ist. Nun ist 
a 
ß 
weil die Punkte eines jeden Paares vertauscht sind, also 
1 
(PcoPoP^P«) = (PoPcoPßP/?), 
les jeden P 
(PoPcoPc^) 
(PooPoPßP^) 
q) Wenn vier Punkte bei beliebiger Wahl der Punkte P co 
und P a die Marken 0, ß, y, d' erhalten haben, so ist ihr Doppel 
verhältnis 
Y ß—Y 
r ß 
(PoP^PyPd) 
Indem wir von den Punkten P co , P 1? P 0 ausgegangen sind, 
haben wir jedem Punkte P' der Geraden eine Zahl zugeordnet, 
nämlich den Wert des Doppelverhältnisses (PooPoPi P). Ver 
tausche ich aber P 0 und Pqo und behalte Pi bei, so geht jedes 
Doppelverhältnis in seinen reziproken Wert über; es ist also jetzt 
dem Punkte Vß die Zahl ^, dem Punkte Py die Zahl - und dem 
r y