Die projektive Geometrie. 
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dem Obigen S durch P^+v zu ersetzen. Somit ist ein Wurf ABCS 
die Summe zweier Würfe ABCDi ¡und ABCD 2 , wenn das Doppel 
verhältnis (CABS) gleich der Summe der Doppelverhältnisse 
(CABD^ und (CABD 2 ) ist. 
Ordnen wir je zwei Punkte P« und Vß einander zu, für 
welche das Produkt aß einen konstanten Wert hat, so erhalten 
wir auf der Geraden wieder eine Involution. Demnach bilden 
die drei Punktepaare PqqPo, P^Py, PiP^v eine Involution. Will 
man also den Punkt P^y finden, so kann man in der Involution,, 
welche durch die beiden ersten Punktepaare bestimmt ist, zu Pj 
den zugeordneten Punkt suchen. Entsprechend bezeichnet Staudt 
den Wurf ABCP als Produkt der Würfe ABCDx und ABCD 2> 
wenn die drei Paare CA, DiD 2 , BP einer Involution angehören. 
Demnach ist ein Wurf ABCP das Produkt der Würfe ABCD* 
und ABCD 2 , wenn das Doppelverhältnis (CABP) gleich dem 
Produkt der Doppelverhältnisse (CABDi) und (CABD 2 ) ist. 
§ i- 
Über den synthetischen Aufbau der projektiven Geometrie. 
Indem Staudt die Punkte einer Geraden, sowie die Geraden 
und Ebenen eines Büschels unter dem Namen einstufiger Gebilde 
zusammenfafst, stellt er als Bedingung für die projektive Zuord 
nung solcher Gebilde die Forderung auf, dafs irgend vier har 
monische Gebilde des einen jedesmal harmonischen Elementen 
des andern entsprechen. Dadurch ist man imstande, die Ent 
wicklungen des vorigen Paragraphen zu entbehren und den wei 
teren Aufbau direkt an den zweiten Paragraphen anzuschliefsen. 
Nur der Nachweis, dafs man, ausgehend von irgend drei Ele 
menten durch fortgesetzte Konstruktion vierter harmonischer 
Elemente jedem Elemente beliebig nahe kommen kann, erfordert 
noch gewisse weitere Untersuchungen. Diese werden überflüssig, 
wenn man die Entwicklungen des § 3 voraussetzt, der ja auch 
mit Ausnahme der (überhaupt entbehrlichen) Bemerkung in o) 
nur die Konstruktion harmonischer Punkte von drei gegebenen 
Punkten aus benutzt und somit seinem Wesen nach nur für die 
Reihenfolge der Operationen bestimmte Regeln aufstellt. 
Der vorige Paragraph gestattet uns aber, die projektive Geo 
metrie auch in der Steinerschen Weise aufzubauen. Zwar benutzt