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Zweiter Abschnitt. § 4. 
Steiner gewisse metrische Beziehungen; aber da es sich stets um 
Doppelverhältnisse handelt, so darf die im vorigen § angegebene 
Zuordnung von Punkten und Zahlen zu Grunde gelegt werden. 
Wo also bei Steiner eine Länge AB benutzt wird, hat man sie 
durch die Differenz der den Punkten A und ß zugeordneten 
Zahl werte zu ersetzen. Dabei wird es zuweilen notwendig, den 
als Pqq bezeichneten Punkt hinzuzunehmen, der bei Steiner als 
»unendlich ferner« Punkt aufser Betracht kommt. Wir können 
daher sagen, zwei einstufige Gebilde seien projektivisch auf ein 
ander bezogen, wenn für irgend zwei einander entsprechende 
Quadrupel die Doppelverhältnisse gleich sind. 
Die Kegelschnitte als Kurven zweiter Ordnung werden durch 
die Schnittpunkte entsprechender Strahlen in zwei projektivisch 
zu einander bezogenen Strahlbüscheln erhalten. Hierdurch gelangt 
man jedoch nur zu den reellen Kegelschnitten. Um auch die 
imaginären Kurven zweiter Ordnung zu erhalten, beziehe man 
die Punkte und Geraden einer Ebene reziprok zu einander, d. h. 
so, dafs jedesmal, wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, auch 
der dem Punkte zugeordnete Strahl durch den der Geraden ent 
sprechenden Punkt geht. Um eine derartige Zuordnung zu be 
stimmen, gehe man von einem Dreieck aus und ordne jedem 
Eckpunkte die gegenüberliegende Seite zu; aufserdem ordne man 
einem beliebigen Punkte der Ebene eine Gerade zu. Dann sind 
wir imstande, jedem Punkte der Ebene einen Strahl und umge 
kehrt zuzuordnen. Wir erhalten ein ebenes Polarsystem und 
fragen nach der Gesamtheit derjenigen Punkte, welche auf den 
zugeordneten Strahlen liegen. Hierdurch gelangen wir wieder zu 
den Kegelschnitten und zwar nicht blofs zu den reellen, sondern 
auch zu den imaginären, 
ln ähnlicher Weise können wir die Flächen zweiter Ordnung 
definieren, entweder durch den Schnitt der Strahlen eines Strahl 
bündels mit den Ebenen eines reziproken Ebenenbündels, oder 
vermittelst eines räumlichen Polarsystems. Sobald man aber die 
Kurven und Flächen zweiter Ordnung kennt, kann man auch 
rein projektivisch zu der euklidischen und den nicht-euklidischen 
Raumformen gelangen. Wir müssen es uns jedoch versagen, 
diese Andeutungen weiter auszuführen; denn wir erachten es für 
notwendig, für jede Raumform das Formelsystem aufzustellen,