Die projektive Geometrie. 
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von welchem aus sich die gesamte Geometrie vermittelst rein 
analytischer Umformungen gewinnen läfst. Zu dem Ende müssen 
wir aber zunächst die Formeln für die projektive Geometrie her 
leiten. 
§ 5. 
Die Koordinaten in der Ebene. 
Um die Lage eines Punktes in einer Ebene durch Zahlen 
zu bestimmen, gehen wir von einem Dreieck A, A 2 A 3 und einem 
Punkte E aus, welcher auf keiner der drei Geraden A 2 A 3 , A 3 Ai, 
A x A 2 liegt. Von den Eckpunkten ziehen wir gerade Linien zum 
Punkte E und zu dem zu bestimmenden Punkte P; diese mögen 
die jedesmal gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks in den 
Punkten Ej, E 2 , E 3 und P x , P 2 , P 3 treffen, wobei Ei in den 
Geraden A 2 A 3 und AiE liegen soll u. s. w.*) Jetzt setze ich: 
(1) (A 2 A 1 E 3 P 3 ) = x, (A 3 AiE 2 P 2 ) = y, 
und nenne x und y die Koordinaten 23 ) des Punktes P. 
Hiernach sind auf den beiden vom Punkte A t ausgehenden 
Dreiecksseiten je vier Punkte bestimmt, und das Doppelverhältnis 
stellt eine Koordinate dar. Wir wollen untersuchen, in welcher 
Beziehung das auf der dritten Seite durch die Punkte E t und P t 
bestimmte Doppelverhältnis zu den Werten x und y steht. 
Zu dem Ende 
denken wir jedem 
Punkte der Ge 
raden Ai E t nach 
der in § 3 ge 
lehrten Methode 
eine Zahl zuge 
ordnet, wobei die 
Wahl der Grund 
punkte ganz will 
kürlich ist. Sind 
hiernach den 
Punkten QundR 
A. 
*) Die Einführung dieser Punkte geschieht hauptsächlich, um die im 
folgenden zu benutzenden Doppelverhältnisse möglichst einfach schreiben zu 
können. In anderer Beziehung wäre es vielleicht besser, die Doppelverhält 
nisse der von A 3 resp. A ä ausgehenden Strahlen als Koordinaten zu wählen.