Die projektive Geometrìe. 
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E dann notwendig wird, wenn eine Seite des neuen Koordinaten 
dreiecks durch den Punkt E geht. 
Jetzt behalte ich die Punkte A 2 und A 3 bei, ersetze aber 
Ai durch einen Punkt Ap, welcher auf der Geraden AiA 2 liegt 
und für den das Doppelverhältnis (A 2 A 1 EA 1 )=a ist. Da y 
das Doppelverhältnis der vier Strahlen darstellt, welche von A 2 
aus nach den Punkten A 3 , A l5 E, P gezogen werden und diese 
Strahlen bei der neuen Wahl von AP ungeändert bleiben, so 
wird y' = y sein. Dagegen wird man die Koordinate x durch 
x' = (A 2 Ai EP) zu ersetzen haben; der Wert dieses Doppelver 
hältnisses ist aber gleich ~wie sich aus § 3 h) ergiebt, 
indem man die dort benutzten Zahlen «, ß, y der Reihe nach 
durch a, 1, x ersetzt. Hierbei mufs, wie wir schon bemerkt 
haben, vermieden werden, dafs E 3 in die Gerade ApA 3 fällt. 
Wir können aber E 3 durch einen Punkt E 3 ' ersetzen und diesen 
.so wählen, dafs der angegebene Wert von x' mit 1 — a multi 
pliziert wird; alsdann tritt an die Stelle von x der Wert x—a. 
Es kommt dies darauf hinaus, den Punkt E 3 durch den Punkt 
E 3 ' mit der Zahl a -]— 1 zu ersetzen, so dafs man unmittelbar den 
Satz § 3, e) anwenden darf. Nimmt man jetzt E als Schnitt 
punkt der Geraden A 2 E 2 und A 3 E 3 ', so bleibt x ungeändert und 
es wird x' = x— a. 
Von AP lasse man irgend eine gerade Linie ausgehen. Ihre 
Gleichung in den neuen Koordinaten wird sein; x' = fxy' oder, 
indem man zu den frühem Koordinaten zurückkehrt: x — a = ,uy. 
Um uns in den Stand zu setzen, auch den übrigen Eck 
punkten des Koordinatendreiecks eine andere Lage zu geben, 
müssen wir die bevorzugte Stellung aufheben, welche der Punkt 
Ai besitzt. Zu dem Ende beachten wir, dafs das gegebene Dreieck 
unter Beibehaltung des Punktes E noch zu zwei weiteren Koor 
dinatensystemen führt, da wir den Punkt A t durch jeden der 
beiden andern Eckpunkte ersetzen können. So können wir den 
Punkt P auch durch die beiden Doppelverhältnisse (A 1 B 2 E 3 P 3 ) 
und (A 3 A 2 E!Pi) bestimmen und setzen: 
(3) Xi =(AiA 2 E 3 P 3 ), yi —(AsA^PO. 
Endlich können wir noch nehmen: 
(4) x 2 =(A 2 A 3 E 1 P 1 ), y 2 = (A!A 3 E 2 P 2 ).