Die projektive Geometrie. 
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Man kann aber auch in dem Koordinaten-Dreieck A } °A 2 0 A 3 
den Punkt A 3 bevorzugen und entsprechend den beiden letzten 
Gleichungen (5) setzen: 
x 2 = 
Y 2 
y y 
Behalten wir die Punkte A t 0 und A 2 0 bei, ersetzen aber A 3 
durch einen Punkt A 3 ° und bezeichnen die neuen Koordinaten 
durch (x 2 '", y 2 "'), so folgt: 
X 2 = x 2 -f-e, y 2 = x 2 -t-f, 
oder, indem wir wieder den Punkt A t 0 bevorzugen und die neuen 
Koordinaten x"', j" nennen: 
(8) S=4 + e, 
y 
y 
y 
1 -h<- 
Die Gleichungen (6), (7), (8) gestatten, die Koordinaten 
x'" = X, y"' — Y durch x, y auszudrücken. Es ergiebt sich un 
mittelbar ; 
V y" V x" + ey" x_ ... y' + dx' 
1 + fg"’ 1 + I + ex” } 1 + ex” 
und indem wir diese Werte der Reihe nach einsetzen und endlich 
noch (6) hinzunehmen, folgt: 
AA X = X X + / V + II Y = + /"y -P /t" 
^ ' xx -R ly -p ,u ’ xx -f- ly -f- ;i ’ 
wo x, X, t u, x t ' . . ., k" . . . konstante Gröfsen bedeuten. 
Die Form (6) wurde allerdings nur bei der speziellen Wahl 
der neuen Punkte E erhalten; hätten wir beliebige andere Punkte 
genommen, so mufsten wir nur gewisse konstante Faktoren hin 
zunehmen. Das würde aber an dem Endresultat keine Änderung 
hervorrufen. Auch kann man jetzt aus X, Y neue Koordinaten 
wieder durch gebrochene lineare Funktionen X', Y' von X, Y 
herleiten, wo ebenfalls der Nenner derselbe sein mufs; dann kann 
man auch X', Y' in gleicher Weise durch x und y ausdrücken. 
Die Gleichungen (9) stellen also die allgemeinste Beziehung 
zwischen Koordinaten dar, welche nach den im Anfänge dieses 
Paragraphen angegebenen Regeln aufgestellt werden können. 
Als vorhin die Gleichung der geraden Linie hergeleitet wurde, 
mufste die Annahme gemacht werden, dafs mindestens eine Seite 
des Koordinaten-Dreiecks von der Geraden getroffen wird. Auch 
von dieser Voraussetzung kann man sich jetzt unabhängig machen.