Die projektive Geometrie. 
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L' + — M = 0, also bleibt der Quotient 1: fi ungeändert. Nun 
P 
darf man das Koordinatensystem so wählen, dafs etwa die Achse 
y = 0 von allen vier Geraden getroffen wird; dann folgt die 
Behauptung unmittelbar. 
Bei der Wahl der Koordinaten x, y ist der Eckpunkt A t 
bevorzugt. Um die Eckpunkte gleichmäfsig zu benutzen, wähle 
man drei Gröfsen z t , z 2 , z 3 , welche folgenden Bedingungen genügen: 
1. sie sollen nicht gleichzeitig verschwinden, 
2. keine von ihnen soll jemals unendlich werden, 
3. es soll nicht auf ihre absoluten Werte, sondern nur auf 
ihre Quotienten ankommen; diese sollen aber so gewählt werden, 
dafs durch sie die Gröfsen x, y und damit auch x l3 y\ und x 2 , y 2 
dargestellt werden. 
Diese Gröfsen kann man aber, wofern man nur von den auf 
einer gewissen Geraden liegenden Punkten absieht, nach einer 
Angabe des Herrn Lüroth wieder als Doppelverhältnisse definieren. 
Man ziehe die Gerade EP und nenne ihre Schnittpunkte mit 
A 2 A 3 , A 3 A l3 A t A 2 der Reihe nach D l3 D 2 , D 3 ; zudem wähle 
man eine beliebige Gerade und bezeichne ihren Schnittpunkt mit 
EP durch Q. Dann setze man: 
z, = (EPQDQ, z 2 = (EPQD 2 ), z 3 = (EPQD 3 ). 
Hiernach ist: 
ll = (IpqdI) =(PED| Q) ■ ( PE( i u =) nach § 3 > h >- 
Nun ersetze man die Punkte P, E, Di, Q, D 3 der Reihe 
nach durch Pqo, Po, Pi, P«, P»>; dann hat in dem vorstehenden 
Produkte das erste Doppelverhältnis den Wert cc, das zweite den 
Wert während (PED^a) = (PqoPoPiPr) = >’ ist. Somit ist: 
~ = (PED.Ds) = (D.D.EP) = (A,A 1 E,P l ) — y. 
Einen ähnlichen Ausdruck erhält man für x, so dafs die neue 
Definition auf die frühere hinauskommt. 
S 6 - 
Die Raum-Koordinaten, 
Wir legen ein beliebiges Tetraeder mit den Ecken Ai, A 2 , 
A 3 , A 4 zu Grunde und wählen im Innern oder Äufsern desselben,