Die projektive Geometrie. 
129 
charakteristisch. Betrachten wir nämlich die Transformation nur 
von der analytischen Seite ohne Rücksicht auf die geometrische 
Anwendung, so geben die Wurzeln der Gleichung (3) diejenigen 
Werte an, welche bei der Transformation ungeändert bleiben. 
Diese Werte selbst hangen natürlich von den Punkten Pqq, P 0 , Pi 
ab, welche wir zur Bestimmung der Gröfsen x benutzt haben; 
aber ihre Anzahl ist von der Wahl der Grundpunkte durchaus 
unabhängig. Zwar kann man durch eine reelle Transformation 
£ XX -f- 4 
t ux -f- v 
drei reelle Werte x t , x 3 , x 3 in drei beliebige andere Werte £ 1} 
£2, £3 überführen; auch tritt an die Stelle der Gleichung (3) 
eine neue Gleichung, deren Wurzeln von denen der ersten im 
allgemeinen verschieden sind; aber reellen Werten von x ent 
sprechen reelle Werte von £, und zwar jedem x ein einziges £; 
deshalb haben die Gleichungen entweder beide zwei reelle 
verschiedene oder beide zwei gleiche oder beide komplexe 
Wurzeln. 
Im Fall zweier reellen Wurzeln sprechen wir von einer 
hyperbolischen Transformation; wenn die Wurzeln zusammen 
fallen, nennen wir die Transformation parabolisch, und wenn 
sie imaginär sind, elliptisch. Demgemäfs ergeben sich auch 
für die Darstellung der Bewegung einer Geraden in sich drei ver 
schiedene Möglichkeiten. Jede von ihnen ist aber, wofern sie 
nicht etwa beim weiteren Aufbau zu einem Widerspruch führen 
sollte, für den Raum selbst charakteristisch. Wir unterscheiden 
also hyperbolische, parabolische und elliptische Raum 
formen, jenachdem zwischen den Koeffizienten a, b, c, d der 
Transformation, welche der starren Bewegung einer Geraden in 
sich entspricht, unter der Bedingung (2) die Beziehung statthat: 
(a -f- d) 2 > 4 oder — 4 oder 4. 
Dabei beachten wir, dafs der hier angegebene Unterschied 
schon in einem endlichen Gebiete des Raumes, welches den am 
Schlüsse von § 1 angegebenen Forderungen genügt, erkannt 
werden könnte, wenn es möglich wäre, Messungen mit voll 
kommener Genauigkeit auszuführen. Denn dann brauchte man 
nur den Punkten einer Geraden nach der angegebenen Methode 
Zahlen zuzuordnen, alsdann die Gerade beliebig in sich zu ver- 
Killing, Grundlagen der Geometrie. I. 
9