Die projektive Geometrie. 
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(13) 
+ vt. 
Eine etwas weitläufigere Rechnung ist notwendig, falls die 
Raumform elliptisch ist. Wir setzen für den Augenblick £ = 
ZJ- und erhalten die Transformation: 
A 
£' = unter der Bedingung: g 2 -f o 2 = 1. 
ö£ + g 
Dann ist: 
_ g£' — <? _ (g 2 — <? 2 ) £ 2 — 2gg 
— g£' + g ~~ 2(>o£ + (g 2 — ö*) 
Setze ich also: 
so folgt: 
cos v, o — sin v. 
£ cos2r — sin 2v 
£(n—i) — 
dafs ist: 
| sin 2v -f- cos 2v 
Nun ergiebt sich aber unmittelbar für 
£ cos (n— 1) v— sin (n—l)i> 
!L_ > l X l— £(n). 
£sin (n— \)v + cos (n—1) v’ 
£ cos nr — sin nr 
J( n ) 
£( n— D COS V — sin V 
£ (n_1) sin v -|- cos v 
£ sin nv + cos nr 
Wiederholen wir die frühem Erwägungen, so erhalten wir 
jetzt für ein veränderliches t und konstante Gröfsen x, 2, v: 
X — x (x — x) cos vt — 2 sin rt 
2" 
(14) 
(x — x) sin vt -j- 2 cos vt 
Die Formeln (12), (13), (14) werden in den folgenden 
Paragraphen eine wichtige Anwendung finden; hier nur noch 
einige Bemerkungen. 
Der oben angegebenen Definition der hyperbolischen, para 
bolischen und elliptischen Raumformen liegt jedesmal eine einzige 
Gerade und eine ganz bestimmte Verschiebung derselben zu 
Grunde; soll die Definition fehlerlos sein, so mufs das unter 
scheidende Merkmal für jede Gerade und für jede Verschiebung 
derselben in sich gelten. Betrachten wir aber zwei Bewegungen, 
bei denen eine Gerade in sich verbleibt, so ist nach den vor 
stehenden Entwicklungen der Charakter der Transformation beide 
mal derselbe; die zweite Forderung wird also erfüllt. Dafs auch