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Zweiter Abschnitt. § 7. 
die Wahl der Geraden gleichgültig ist, erkennt man ebenso leicht. 
Man wähle irgend zwei Geraden des Raumes und ordne nach 
der angegebenen Methode den in jeder von ihnen gelegenen 
Punkten eine Zahl zu. Die Zahlen mögen für die erste Gerade 
mit u, für die zweite mit v bezeichnet werden. Legt man jetzt 
die erste Gerade auf die zweite, so sind diejenigen Zahl werte, 
welche demselben Punkte entsprechen, nach den frühem Resul 
taten durch eine Gleichung von der Form : 
xv -j- X 
¡iv -j- v 
für reelle Werte von x } X, ¿g v verbunden. Bewegt man aber 
die erste Gerade in sich und gelangt man dadurch zu der Trans 
formation : 
, au 4- b 
u = r —T, 
cu -f- d 
so mufs es möglich sein, auch diese zweite Lage auf die andere 
Gerade zu übertragen; also mufs deren Bewegung in sich durch 
eine Gleichung dargestellt werden, welche aus der vorstehenden 
erhalten wird, indem man 
xv -f- X 
u durch — ~ ~ und u' 
UV -f- V 
durch , , 
[.IV V 
ersetzt. Dafs hierdurch aber der Charakter der Transformation 
nicht geändert wird, ist bereits oben gezeigt worden. 
Sonach sind die angegebenen Möglichkeiten vollständig gegen 
einander abgegrenzt. Weitere Fälle sind aber ausgeschlossen, 
wofern wir nachweisen können, dafs die Determinante ad — bc 
stets positiv sein mufs. Das läfst sich in der That sehr leicht 
. . a b 
zeigen. Wäre nämlich ad — bc = 0 oder - = ^, so würde die 
Gleichung (1) verlangen, dafs für einen Wert von x, der von 
—- = —- verschieden ist, jedesmal x' = ^ würde. Eine der 
artige Veränderung, wodurch eine Strecke sich in einen Punkt 
zusammenzöge, ist aber dem Begriff der Bewegung nach voll 
ständig ausgeschlossen. Ebensowenig darf ad — bc negativ sein. 
Denn für die Ruhelage mufs x'— x, also a = d, b = c=0 sein; 
somit ist ad — bc für den Beginn der Bewegung positiv. Dieser 
Ausdruck darf sich aber nur stetig ändern. Würde er negativ,