Die projektive Geometrie. 
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ein Punkt (x, y) nur in seine Anfangslage zurückkehren, wenn 
p n = 1 und n(f gleich einem Vielfachen von 2/r ist. Nun sind 
komplexe Werte von q der Natur der Sache nach ausgeschlossen; 
q kann aber auch nicht gleich — 1 sein, wie dieselbe Erwägung 
zeigt, welche am Schlüsse des vorigen Paragraphen angestellt 
wurde, um zu zeigen, dafs ad — bc nicht negativ sein kann. 
Folglich mufs q — 1 sein. 
Bei der Herleitung dieses Resultates wurde der Nullpunkt 
nur deshalb als ruhender Punkt gewählt, um die Formeln ein 
facher schreiben zu können. Das gewonnene Resultat läfst sich 
aber sehr leicht auch für den Fall aussprechen, dafs irgend ein 
anderer Punkt der Ebene in Ruhe gehalten wird. Man hat drei 
lineare Funktionen L l5 L 2 , L 3 der Koordinaten x und y zu be 
nutzen. Indem man L*(x', y') kurz mit L'* bezeichnet, gelten 
die Gleichungen: 
(4) ^7 — 
■*-3 
Daraus folgt: 
Li cos (f — L 2 sin (f 
L, 
W 
w 
L t sin <p L 2 . cos (p 
u 
L/ 2 -f- L 2 ' 2 L^H-Lg* 
Ls' 2 ~ L? 
Alle Kreise, welche einen festen Punkt zum Mittelpunkte 
haben, können somit durch die Gleichung dargestellt werden; 
(5) Li 2 -f- L 2 2 = r 2 L 3 2 , 
wo die Konstante r vom Radius abhängig ist. 
Hier schneiden sich die Geraden Li = 0 und L 2 = 0 in 
dem ruhenden Punkte. Entsprechend dem Umstande, dafs die 
in den früheren Formeln benutzte Variabele y nur der Bedingung 
unterworfen ist, für die Punkte einer durch den Anfangspunkt 
gehenden Geraden zu verschwinden, darf auch L 2 im übrigen 
willkürlich gewählt werden; dagegen sind L! und L 3 , wie wir 
später noch genauer sehen werden, durch die Wahl von L 2 voll 
ständig bestimmt. 
Statt der bisher benutzten Koordinaten darf man beliebige 
lineare gebrochene Funktionen von ihnen benutzen, sofern sie 
nur denselben Nenner haben. Dann bleiben alle Gleichungen in 
ihrer wesentlichen Form ungeändert; so z. B. sind die Trans 
formations-Gleichungen wieder gebrochen-linear, und die Gleichung 
einer jeden Geraden bleibt vom ersten Grade. Gehen wir also