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Zweiter Abschnitt. § 9. 
tionen jedenfalls nur mit einem Faktor multipliziert wird, einer 
Konstanten gleichzusetzen. Wir stellen also die Bedingung auf: 
(2) k 2 t 2 -}- u 2 -j- 1,2 — k 2 - 
Die Transformationen müssen in t, u, v homogen linear 
sein; sie haben also die Form: 
! t' = at -f- bu -f- cv 
u' = a't + bu + cv 
v' — a"t -F b"u ~F cv. 
Dann mufs auch zwischen t', u', v die Relation (2) statt 
haben; also mufs sein; 
i kV _f a' 2 -F a" 2 = k 2 , k 2 ab + a'b' + a"b" = 0 
(4) I k 2 b 2 -F b' 2 -Fb //2 — 1, k 2 ac ~F a'c' -F a"c" == 0 
( k 2 c 2 -F b' 2 + c 2 = 1, k 2 bc + b'c' + b"c"=0. 
Da alle Transformationen (3), welche den Bedingungen (4) 
genügen, die Form (2) ungeändert lassen, so werden sie auch, 
bei Anwendung der Koordinaten von zwei Punkten (F, u l5 
und (t 2 , u 2 , v 2 ) die Form k 2 tita + UiU 2 -F nicht verändern. 
Diese mufs also eine Funktion der Entfernung e der beiden Punkte 
sein, und wir dürfen setzen: 
(5) k 2 Ft 2 + Ul u 2 + v x v 2 =f/>(e). 
Die Funktion (f (e) läfst sich auf demselben Wege ermitteln, 
der in § 10 zur Herleitungen der Gleichungen (5), (6) und (9) 
eingeschlagen werden soll. Man kann aber auch durch die beiden 
Punkte (ti, u 1? i'i) und (t 2 , u 2 , v 2 ) eine gerade Linie legen und 
sie so in sich verschieben, bis der erste Punkt mit dem zweiten 
zur Deckung gelangt. Drückt man diese Verschiebung vermittelst 
der Gleichung (14) § 7 aus, so mufs die dort benutzte Gröfse t 
der Entfernung der beiden Punkte proportional sein. Nun kann 
man den ersten Punkt mit dem Punkte (1, 0, 0) zusammenfallen 
lassen und den zweiten in die Gerade v — 0 legen. Soll aber 
die Transformation 
t sin ¡ne -F u cos ,«e 
t cos ¡ae — u sin fic 
den Punkt (1, 0, 0) in den Punkt (t 2 , u 2 , 0) überführen, so mufs 
u 2 __ sinjtte __ Also ist im vorliegenden 
t 2 cosjae 
Falle, da die linke Seite der Gleichung (5) in k 2 t 2 übergeht,