Die projektive Geometrie. 
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Somit sind rj identisch mit den rechtwinkligen Cartesischen 
Koordinaten, und wir gelangen zu den bekannten Formeln der 
euklidischen Geometrie. 
§ 10. 
Andere Herleitungen der gewonnenen Resultate. 
Die Resultate des vorigen Paragraphen können in mancherlei 
anderer Weise gewonnen werden. So kann man von der That- 
sache ausgehen, dafs die Gesamtheit der starren Bewegungen in 
der Ebene eine dreifach unendliche Mannigfaltigkeit bildet, die 
Transformationen, durch welche diese Bewegung analytisch be 
schrieben wird, demnach drei willkürliche Parameter enthalten. 
Das System dieser Transformationen hat aber die charakteristische 
Eigenschaft, dafs jedesmal die aus zwei Transformationen des 
Systems zusammengesetzte Transformation wieder dem System 
angehört. Nehmen wir noch die Eigenschaft des Kreises als 
einer geschlossenen Linie hinzu, so kann man das System der 
Transformationen vollständig bestimmen. Die Rechnung, welche 
zu diesem Resultate führt, läfst sich bedeutend erleichtern, wenn 
man berücksichtigt, dafs die Transformationen linear gebrochene 
Funktionen der Koordinaten sind. Indessen bleiben diese Ent 
wicklungen, so lange man nicht die ersten Sätze aus der Theorie 
der Transformations-Gruppen voraussetzt, so weitläufig, dafs wir 
von ihrer Mitteilung Abstand nehmen müssen. 
Ein zweiter Weg scheint geeignet, den von uns gelieferten 
Beweis beträchtlich abzukürzen. Den Ausgangspunkt bilden wieder 
die Entwicklungen von § 7. Hier stellt sich die Verschiebung 
einer Geraden in sich in dem einen Falle (der einer hyperbo 
lischen Transformation) durch die Gleichung dar: 
x' — a t x — cc 
x --,^ ==C x — ß' 
Wenn hier »G> 0 ist, so wird, von welchem Werte x man 
auch ausgehen mag, für ein immer gröfser werdendes t die rechte 
Seite ihrem absoluten Betrage nach unbegrenzt wachsen, also mufs 
x' immer näher an ß herankommen; dagegen wird, wenn t 
negativ, aber seinem absoluten Betrage nach immer gröfser wird, 
die rechte Seite immer näher an null, also x' immer näher an 
« kommen. Für ein negatives r hat man nur die beiden Fälle