Die projektive Geometrie. 
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(7) H uu = 2AixUi u* — 0. 
Zwei Gerade (u) und (v) mögen sich schneiden und die vom 
Schnittpunkte an das Gebilde (7) gelegten Tangenten mögen die 
Koordinaten haben (u-f-und (u-j-^i')* Dann ergeben sich 
/¿j und m als Wurzeln der Gleichung: 
(8) H uu -{- 2u H u v -{- fi*H vv = 0, 
wo die Bedeutung der Ausdrücke H uu , H uV , H V v unmittelbar klar 
ist. Demnach ist das Doppelverhältnis der vier Strahlen: 
fh 11... + Vh UV H u1 , — H uu Hvv > 
i a 2 H uV KH ul ;H uV H uu I In, 
Dies bleibt bei jeder Transformation ungeändert, durch 
welche ß und somit auch H in sich verwandelt wird; es ist also 
eine Funktion des Winkels * der beiden Geraden. Demnach 
kann der Winkel ganz entsprechend der Gleichung (5) oder (0) 
dargestellt werden. Wenn speziell die Wurzel einen imaginären 
Wert hat, so setze man c=^ und erhält auf demselben Wege,, 
der uns vorhin zur Gleichung (6) geführt hat: 
(9) cos t 
• il..,ii., 
Nennen wir der Kürze wegen den Kegelschnitt ß = 0 den 
unendlich fernen Kegelschnitt, so können wir die erhaltenen 
Resultate in folgender Weise aussprechen: 
Die Entfernung zweier Punkte ist gleich dem mit einer 
gewissen Konstanten multiplizierten Logarithmus des Doppelver 
hältnisses der Punkte zu den beiden Schnittpunkten ihrer Ver 
bindungsgerade mit dem unendlich fernen Kegelschnitt. Ebenso 
ist der Winkel, den zwei Gerade mit einander bilden, bis auf 
einen konstanten Faktor gleich dem Logarithmus des Doppel 
verhältnisses, in dem die Geraden zu den beiden Tangenten stehen, 
welche von ihrem Schnittpunkte aus an den unendlich fernen 
Kegelschnitt gezogen werden können. 
Wenn der Kegelschnitt ß = 0 imaginär ist, d. h. wenn die 
Form ß für reelle Gröfsen x x , x 2 , x 3 nur dadurch zum Ver- 
schwinden gebracht werden kann, dafs man x t == x 2 == x 3 — 0 
setzt, so können auch die Schnittpunkte mit keiner reellen Ge 
raden reell sein. Daher mufs in (5) unter dem Wurzelzeichen