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Zweiter Abschnitt. § 11. 
für die Verschiebung einer Geraden in sich gilt. Vergleichen 
wir hiermit die Ergebnisse des vorigen Abschnitts, so folgt, dafs 
die euklidische Raumform als parabolisch, die Lobatschewskysche 
als hyperbolisch, dagegen die Riemannsche und ihre Polarform 
beide als elliptisch zu bezeichnen sind. 
Wollen wir ganz auf dem Boden der projektiven Geometrie 
bleiben, so können wir folgende Erwägung anstellen. Die all 
gemeine projektive Umgestaltung des Raumes hängt von fünfzehn 
willkürlichen Parametern, den Verhältnissen der 16 Transforma 
tions-Koeffizienten ab. Diese wollen wir so beschränken, dafs 
die Gesamtheit der auszuwählenden Transformationen nur noch 
von sechs Parametern abhängt. Allerdings erhalten wir dadurch 
noch ganz verschiedene sechsgliedrige Transformations-Gruppen. 
Wir wählen diejenigen aus, für welche jedesmal bei der Ruhe 
zweier Punkte ein bewegter Punkt bei fortschreitender Bewegung 
in seine Anfangslage zurückgeführt werden kann; oder was auf 
dasselbe hinauskommt, wir suchen diejenigen sechsgliedrigen Trans 
formations-Gruppen, welche gestatten, eine Gerade mit jeder 
andern zur Deckung zu bringen. Dadurch werden wir zu dem 
selben Resultate geführt. 
Statt dessen können wir aber auch nach denjenigen projek 
tiven Transformations-Gruppen fragen, welche eine fest gewählte 
Fläche ungeändert lassen. Wir wollen hierfür eine eigentliche 
Fläche zweiter Ordnung voraussetzen, also den Kegel und den 
Kegelschnitt ausschliefsen. Die Gleichung dieser Fläche sei: 
i2 xx ~ -a^Xi x* = 0, 
wo jetzt die vier Variabein x l5 x 2 , x 3 , x 4 benutzt werden. Dann 
bleiben die Entwicklungen ungeändert, welche sich im vorigen 
Paragraphen an die Formen ¿2 und H anschlossen. Somit gelten 
wieder die Formeln (4), (5), (6), (9) mit dem Unterschiede, dafs 
jetzt die Summation sich auf die vier Marken 1 ... 4 erstreckt. 
Soll aber eine Gerade mit jeder andern zur Deckung gebracht 
werden können, so müssen die durch einen gegebenen Punkt 
gelegten Geraden die Fläche entweder sämtlich schneiden oder 
sämtlich nicht schneiden. Daher darf die Fläche keine gerade 
Linie enthalten; zudem müssen die Punkte, wenn die Fläche reell 
ist, in ihrem Innern angenommen werden. Wir erhalten also 
auch hier nur zwei Fälle. Erstens können wir die Fläche als