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Zweiter Abschnitt. § 11. 
alle in der Umgebung eines Punktes gelegenen Ebenen in ein 
ander zu transformieren. Dieser Forderung genügt man nur durch 
die elliptische, die parabolische und die hyperbolische Geometrie. 
Die kleinste Untergruppe, durch welche die gestellte Forderung 
befriedigt wird, enthält nämlich noch eine willkürliche Konstante; 
jenachdem diese positiv, null oder negativ ist, wird die Ver 
schiebung der Geraden in sich (d. h. die projektive Beziehung 
der Punkte einer Geraden auf einander) durch eine elliptische, 
parabolische oder hyperbolische Transformation dargestellt. 
Da der Beweis dieser Behauptung einige Sätze aus der Theorie 
der Transformations - Gruppen voraussetzt, die leider nicht als 
allgemein bekannt vorausgesetzt werden können, ziehe ich es vor, 
ihn an einer andern Stelle zu veröffentlichen. Auch will ich 
nicht darauf eingehen, die Frage zu beantworten, welche Be 
schränkung am besten geeignet ist, die Forderung zu ersetzen, 
dafs die Untergruppe gerade die geringste Zahl von Parametern 
haben soll. 
§ 12. 
Rückblick. 
Die volle Bedeutung der auf den vorangehenden Seiten durch 
geführten Entwicklungen kann erst im zweiten Bande erkannt 
werden. Dort werden wir also nochmals auf die Lehren dieses 
Abschnitts eingehen und einzelne Punkte näher besprechen, welche 
hier nur angedeutet werden können. 
Ein Vorteil, der in rein theoretischer Hinsicht wohl nicht 
der bedeutsamste ist, aber bei unserer Behandlung am klarsten 
hervortritt, möge an erster Stelle erwähnt werden. Nachdem es 
gelungen war, alle Sätze der Projektivität herzuleiten, ohne ein 
gewisses Gebiet zu verlassen und ohne den Begriff der Länge 
einer Strecke oder des Winkels zweier Geraden vorauszusetzen, 
brauchten wir nur einige der einfachsten metrischen Sätze, deren 
Beweis keinerlei Bedenken unterliegt, anzunehmen, um, gestützt 
auf projektive Sätze, die Metrik einwurfsfrei aufzubauen. Dabei 
stellten sich von Anfang an drei verschiedene Fälle als gleich 
berechtigt heraus; jeder unter ihnen gestattete einen streng folge 
richtigen Aufbau und führte zu einem Formelsystem, aus welchem 
jedesmal die Gesamtheit aller geometrischen Beziehungen ver