Der mehrdimensionale Raum. 
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Die Mangelhaftigkeit dieser Definitionen drängt sich dem 
Leser sofort auf. So wird in der ersten Definition des elften 
Buches der Begriff des Körpers auf die von Länge, Breite und 
Höhe zurückgeführt, also ein einfacher auf schwierigere Begriffe. 
Denn es ist jedem von vorn herein klar, was ein Körper sei; 
dagegen mufs der Lehrer die Begriffe: Länge, Breite und Höhe 
erst entwickeln. Dabei gebraucht er den Körper, aber nicht jeder 
Körper ist zur Herleitung geeignet; denn schwerlich wird jemand 
sagen können, was bei der Kugel, dem Oktaeder und den meisten 
andern Körpern unter Länge, Breite und Höhe zu verstehen sei. 
In voller Reinheit treten diese Begriffe nur beim rechtwinkligen 
Parallelepipedon auf, also bei einem Körper, der von sechs Recht 
ecken begrenzt wird. In jeder Ecke eines solchen Körpers stofsen 
drei Kanten zusammen und diese werden als Länge, Breite und 
Höhe unterschieden. 
Ferner wird z. B. das Wort Länge nicht immer in demselben 
Sinne gebraucht; denn unter der Länge eines Körpers wird, wenn 
überhaupt etwas, so doch nur eine gerade Strecke verstanden, 
während die zweite Definition des ersten Buches jeder Linie eine 
Länge beilegt. 
Die Begriffe: Fläche, Linie und Punkt finden sich in je zwei 
Definitionen. Wir dürfen wohl annehmen, dafs durch die Worte: 
Eines Körpers Grenze ist eine Fläche, nicht die Grenze eines 
Körpers, sondern die Fläche definiert werden soll. Dann haben 
wir iür jeden solchen Begriff' zwei Definitionen, und es bedarf 
des Nachweises, dafs beide auf eine einzige hinauskommen. 
Jede Definition soll uns befähigen, für den definierten Begriff' 
Sätze herzuleiten. Vergebens würde man sich aber nach Sätzen 
umsehen, bei deren Beweis man etwa davon Gebrauch macht, 
dafs der Körper Länge, Breite und Höhe hat. 
Das sind einige Bedenken, die sich gegen den Wortlaut der 
mitgeteilten Definitionen geltend machen lassen. Den Sinn, den 
der groise Geometer mit seinen Worten verbindet, glauben wir 
am besten zu treffen, wenn wir dem Körper drei, der Fläche 
zwei und der Linie eine Dimension beilegen. Thun wir das, so 
muls die Zahl der Dimensionen noch erklärt werden.