Der mehrdimensionale Raum. 
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dargestellt werden kann, wo a t , a s ... a v .. . positive ganze 
Zahlen sind. Umgekehrt bestimmt eine beliebige Wahl der Zahlen 
« 2 • • • (<v • • • e ^ ne einige Zahl e in der angegebenen Weise. 
Man wähle die Kanten eines Würfels gleich eins und fälle 
von einem Punkte die Senkrechten e x , e 2 , e 3 auf drei seiner 
Grenzflächen, die in demselben Eckpunkte zusammenstofsen. 
Nimmt man den Punkt im Innern des Würfels, so müssen die 
drei Gröfsen ei, e 2 , e 3 zwischen null und eins liegen. Wir 
nehmen zuerst an, die drei Gröfsen seien irrational. Dann läfst 
sich jede durch einen unendlichen Kettenbruch darstellen, so dafs 
wir setzen dürfen; 
e i = («i, «2 • • •)> es = (ßi, ßi • . •)> e 3 = (y u y 2 . . .). 
Wenn wir jetzt positive ganze Zahlen f l5 f 2 . . . einführen 
durch die Festsetzung: 
*1 — a l , *2 —ßli *3 == Yl 5 * 1: = c< 2 J *5 = ßi 5 *G = y2 • • • 
f 3V-l-l = «V+3, ^3V+2 == ßv+\, ?3 V+3 = • • •, 
so bestimmen auch e 1} s 2 . . . . . . eine einzige Zahl 1 zwischen 
0 und 1. 
Umgekehrt kann man von der irrationalen Zahl 1 ausgehen 
und erhält eindeutig die drei Zahlen e l5 e 2 , e 3 durch die Fest 
setzung : 
G — (h; f 4j G • • • . . .) 
e 2 =( f 2 5 f S • • • *3*4-2 • • •) 
£3 — (*3 5 *65 *9 • • • *3*’ • • •) 
Hierdurch sind allen Punkten im Innern des Würfels, deren 
Abstände von den Grenzflächen irrational sind, Punkte auf einer 
geraden Strecke eindeutig so zugeordnet, dafs auch jedem solchen 
Punkte der Strecke ein einziger Punkt des Körpers entspricht. 
Diese Zuordnung kann denn auch auf die rationellen Werte aus 
gedehnt werden. Hiernach ist an sich die Zahl der Variabein 
ganz willkürlich, welche zur Darstellung der Punkte eines Gebildes 
benutzt werden. Diese Zahl kann beliebig kleiner oder gröfser 
als die der Dimensionen des Gebildes gewählt werden. Sie mufs 
nur dann der Zahl der Dimensionen gleich genommen werden, 
wenn die Zuordnung stetig sein soll, wie Herr Netto bewiesen hat. 
Wie wenig die Zahl der Dimensionen der der Variabein 
entspricht, zeigt ein von Herrn Peano angegebenes Beispiel, wo 
durch die Gleichungen