Der mehrdimensionale Raum. 
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wo x eine reelle Variabele, a eine ungerade ganze Zahl und b 
eine positive Konstante < 1 ist, und wo die Bedingung erfüllt 
ist: ab > 1 -f- f ft". 
Wohl unabhängig hiervon hat Cellerier die gleiche Eigen 
schaft von der Funktion bewiesen, welche durch die unendliche 
Reihe definiert wird: 
oo sin (a n x) • 
_ n n ’ 
n = : a 
wo a eine ganze positive, nicht zu kleine Zahl ist. Die Einfach 
heit dieser Beispiele läfst vermuten, dafs dieselbe Eigenschaft recht 
vielen Funktionen zukommt, dafs also auch recht viele Linien 
nicht durch Bewegung eines Punktes entstehen können. 28 ) 
Dafs durch Bewegung einer Fläche, einer Linie und eines 
Punktes im allgemeinen ein Gebilde von einer Dimension mehr 
erzeugt wird, mufs also zu den Lehrsätzen der Geometrie gezählt 
werden. Der bewegte Punkt beschreibt immer eine Linie; da 
gegen wird die bewegte Linie entweder in sich verschoben oder 
sie beschreibt eine Fläche. Im zweiten Falle begrenzt die Linie 
in irgend einer Lage, welche sie bei der Bewegung erlangt, Teile 
der erzeugten Fläche gegen einander. Im ersten Falle ist die 
Linie, wofern sie weder geschlossen noch unendlich ist, ein Teil 
der von ihr beschriebenen. Sind E und E' irgend zwei Lagen 
der bewegten Linie, so haben diese entweder einen Teil gemein 
schaftlich oder man kann weitere Lagen Ei, E 2 . . . E n , welche 
von der Linie bei der Bewegung gedeckt werden, so einschieben, 
dafs E und Ej, E : und E 2 , überhaupt je zwei auf einander fol 
gende Lagen einen Teil mit einander gemeinschaftlich haben. 
Dasselbe gilt von einer bewegten Fläche; hier sind wieder zwei 
Fälle möglich. Dagegen wird ein bewegter Körper stets nur 
einen Raumteil beschreiben, welchem der von dem Körper in 
der Anfangslage eingenommene als Teil angehört oder der als 
Ganzes damit identisch ist. Hierdurch tritt die Zahl drei in eine 
ganz enge Beziehung zum Raume und wir fragen uns: Könnte 
nicht auch ein dreidimensionales Gebilde so bewegt werden, dafs 
es ein Gebilde von mehr Dimensionen beschriebe? Dieselbe 
Frage wird uns im wesentlichen im folgenden Paragraphen wieder 
entgegentreten.