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Dritter Abschnitt. § 4. 
§ 4. 
Die Zahl der Dimensionen eines Ranmgebildes. 
Die einzig richtige Definition der Raumgebilde, wie sie auch 
jetzt fast regelmäfsig in den Lehrbüchern gegeben wird, geht vom 
Begriffe des Körpers und dem der Teilung aus. Man teile einen 
Körper, so wird die gegenseitige Grenze eine Fläche sein; teilt 
man aber die Fläche wieder, so wird die gegenseitige Grenze 
der beiden Teile durch eine Linie gegeben, und wenn man endlich 
eine Linie in zwei Teile zerlegt, so besteht die gegenseitige 
Grenze in einem Punkte. Auch bei dieser Definition sind gewisse 
Vorsichtsmafsregeln nicht aufser acht zu lassen; ebenso bedarf 
das Wort Grenze noch einer nähern Erklärung. Hierauf wollen 
wir jedoch erst an einer spätem Stelle eingehen. 
Mit dieser Definition hängt eine genaue Erklärung für den 
Ausdruck zusammen: Der Raum hat drei Dimensionen. Wenn 
ein Raumteil oder ein Körper in zwei Teile zerlegt wird, so 
wird die gegenseitige Grenze noch teilbar sein; zerlegt man diese 
Grenze wieder, so ist das neue Grenzgebilde wieder teilbar; wird 
dasselbe geteilt und das dadurch erhaltene Grenzgebilde bestimmt, 
so ist das neue Grenzgebilde unteilbar. Anders ausgedrückt: 
Man teile einen Körper in zwei Teile und bezeichne ihre gegen 
seitige Grenze als ein Grenzgebilde erster Ordnung; dies ist 
teilbar, und wenn es in zwei Teile zerlegt wird, so bezeichne 
man die gegenseitige Grenze als ein Grenzgebilde zweiter Ord 
nung; auch dieses ist teilbar und führt durch eine Zerlegung in 
zwei Teile zum Grenzgebilde dritter Ordnung; dieses ist aber, 
ganz unabhängig von dem Körper, von dem man ausging, und 
von der Art der Teilungen, welche der Reihe nach ausgeführt 
sind, stets unteilbar. Ohne ein Mifsverständnis befürchten zu 
müssen, können wir daher sagen: Führt man der Reihe nach drei 
Teilungen aus, indem man jede Teilung mit einem Übergang 
zur Grenze verbindet, so gelangt man zum unteilbaren Gebilde. 
Hiermit ist die Erklärung für die Dreizahl der Dimensionen des 
Raumes gegeben; wir können damit die Erklärung für die Zahl 
der Dimensionen, welche ein Raumgebilde besitzt, verbinden, 
indem wir sagen: Die Grenze von irgend zwei Teilen, in weiche 
ein dreidimensionales Gebilde zerlegt wird, ist ein Gebilde von