Der mehrdimensionale Raum. 
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zwei Dimensionen; die Grenze von irgend zwei Teilen, in welche 
ein zweidimensionales Gebilde zerlegt wird, besitzt eine Dimen 
sion; dagegen ist die gegenseitige Grenze zweier Teile eines 
eindimensionalen Gebildes unteilbar. 
Statt das Wort Dimension zu gebrauchen, spricht man auch 
von Ausdehnung und sagt, der Raum sei dreifach, die Fläche 
zweifach, die Linie einfach ausgedehnt. 
Die Zahl drei, welche auf diese Weise erhalten wird und 
welche für den Raum durchaus charakteristisch ist, wurde auch 
im vorigen Paragraphen erhalten. In beiden Fällen konnte ihr 
(wenigstens zunächst) eine begriffliche Notwendigkeit keineswegs 
zugesprochen werden. Warum führt gerade die dreimalige Teilung 
(in dem angegebenen Sinne) auf das unteilbare Gebilde, und wes 
halb führt nach der Darstellung des vorigen Paragraphen die 
dreimal nach einander ausgeführte Bewegung vom Punkte aus 
zu einem Gebilde, welches nur noch in sich bewegt werden kann? 
Allerdings haben manche philosophische Systeme Beweise dafür 
beibringen wollen, dafs die Dreizahl der Dimensionen im Wesen 
des Raumes begründet sei. Meistens ist aber dann schon die 
Fragestellung ganz unrichtig oder der Beweis macht einen Cirkel, 
weil die Dreizahl bereits axiomatisch im Beweise vorausgesetzt 
wird. Bei allen solchen Versuchen hat es mir immer unmöglich 
geschienen, dafs jemand im Ernst an die Beweiskraft der Gründe 
glauben könnte. Es wird also wohl nicht nötig sein, die Ver 
suche genauer zu prüfen; es genüge, die Frage selbst noch in 
folgender Form auszusprechen: Ist es begrifflich gestattet anzu 
nehmen, dafs für ein Seiendes, welches geteilt werden kann und 
dessen Teile eine gegenseitige Grenze haben, erst eine mehr als 
dreimal ausgeführte Teilung, jedesmal mit einem Grenzübergange 
verbunden, auf das unteilbare Gebilde führt? 
Dafür, dafs diese Frage nicht unbedingt verneint werden darf, 
kann man wohl den Umstand anführen, dafs die Eigenschaften 
der Ebene, also eines zweidimensionalen Gebildes, ganz denen 
des Raumes entsprechen. Ebenso haben wir im vorigen Abschnitt 
gesehen, dafs dem dreidimensionalen Lobatschewskyschen Raume 
die Flächen konstanter negativer Krümmung und dem dreidimen 
sionalen Riemannschen Raume die Kugelflächen im euklidischen 
Raume entsprechen.