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Dritter Abschnitt. § 6. 
Abschnitts (S. 5) behandelt haben. Demnach definiert er jetzt: 
Wenn ein Element seinen Zustand stets auf gleiche Weise ändert, 
so dafs, wenn aus einem Elemente a des Gebildes durch eine 
solche Änderung ein anderes Element b desselben hervorgeht, 
dann durch eine gleiche Änderung aus b ein neues Element c 
desselben Gebildes hervorgeht, so entsteht das der geraden 
Linie entsprechende Gebilde, das Gebiet zweiter Stufe. 
Aus dem Gebiet zweiter Stufe läfst er in gleicher Weise das 
Gebiet dritter Stufe hervorgehen, und definiert ganz allgemein: 
Wenn man alle Elemente eines Gebietes nhLH Stufe einer 
und derselben Änderungsweise unterwirft, welche zu neuen (in 
jenem Gebiete nicht enthaltenen) Elementen führt, so heifst die 
Gesamtheit der durch diese Änderungsweise und die entgegen 
gesetzte erzeugbaren Elemente ein Gebiet (n-f 1)^ Stufe; das 
Gebiet dritter Stufe entspricht der Ebene, das vierter dem ganzen 
Raume. 
Die Wissenschaft, welche sich mit allen in dieser Weise 
gewonnenen Gebilden beschäftigt, nennt Grafsmann die Aus 
dehnungslehre. Dieselbe umfafst die Raumlehre in sich, einmal 
insofern der Begriff der Änderung allgemeiner ist als der der Be 
wegung, dann aber auch, weil sie die Schranken überschreitet, 
welche der Geometrie durch die Beschränkung auf drei Dimen 
sionen gezogen sind. 
Ohne in eine Kritik einzutreten, müssen wir der Grofsartig- 
keit der Anlage volle Bewunderung zollen; wir wollen auch die 
Bemerkung beifügen, dafs der wirkliche Aufbau des Systems ganz 
derselben hohen Auffassung entspricht, die sich in den Grundlagen 
dokumentiert. 
§ 6. 
Analytische Probleme von der Geometrie gestellt. 
Indem die Analysis auf die Geometrie angewandt wurde, 
wurden die geometrischen Probleme in analytische verwandelt. 
Den Vorteil davon hatten beide Zweige der Mathematik: die 
Geometrie, indem ein Problem, welches ihre eigenen Kräfte über 
stieg, gelöst und ihr selbst dadurch eine Erweiterung verschafft 
wurde; die Analysis, da ihr Probleme vorgelegt wurden, welche 
nicht eine Folge willkürlicher Fragestellung waren, sondern in