Der mehrdimensionale Raum. 
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der Wissenschaft selbst ihren Grund hatten. Dadurch bot das 
analytische Problem schon von selbst eine gewisse Gewähr, dafs 
sich die Lösung werde finden lassen, und wenn sie gefunden 
war, so hatte die Analysis einen Fortschritt zu verzeichnen. 
Nachdem aber einmal ein solches Problem gelöst ist, liegt für 
die Analysis nichts näher, als dasselbe von ihrem Standpunkte 
aus zu erweitern, ohne Rücksicht darauf, ob das neue Problem 
noch eine Beziehung zur Geometrie hat oder nicht. 
Ich kann nicht die Absicht haben, einen genauen historischen 
Überblick über die einzelnen Probleme zu geben, bei denen die 
vorgezeichnete Entwicklung hervortritt. Auch sind die hierher 
gehörigen Untersuchungen mittlerweile meistens Teile derjenigen 
gröfseren Theorieen geworden, welche in den folgenden Para 
graphen dargelegt werden müssen. Deshalb mufs ich mich damit 
begnügen, auf zwei Beispiele hinzuweisen. 
Die mehrfachen Integrale ¡verdanken ihre erste Aufstellung 
offenbar der Geometrie; führt doch die Ausmessung der Flächen 
und der Körper unmittelbar auf zweifache und dreifache Integrale. 
Andererseits finden diese Integrale wesentliche Unterstützung von 
der Geometrie. Will man sich das Wesen des Doppelintegrales 
// f ( x > y) dx d y 
vorstellen, so betrachtet man x und y als rechtwinklige Koor 
dinaten einer Ebene; die Grenzen des Integrals werden dann 
durch eine geschlossene Linie angegeben. Für den Fall, dafs für 
alle Werte im Integrationsbezirk die Funktion f(x, y) endlich und 
stetig ist, denkt man sich in jedem Punkte der Ebene auf ihr die 
Senkrechte nach derselben Seite errichtet und ihre Länge im 
Punkte (x, y) gleich dem entsprechenden Werte von f(x, y) 
gemacht. Dann stellt das Integral den Rauminhalt eines gewissen 
Körpers dar: als Grundfläche kann das Innere der genannten 
Kurve betrachtet werden; die Seitenfläche besteht aus der Ge 
samtheit der senkrechten Strecken, welche in den Punkten der 
Kurve errichtet sind, also in einer zylindrischen Fläche (im wei 
teren Sinne), und die Endfläche wird von einer gewissen krummen 
Fläche gebildet. Die geometrische Darstellung läfst aber die 
wichtigsten allgemeinen Gesetze eines solchen Integrals unmittelbar 
hervortreten, nämlich den Satz über die Vertauschbark eit der 
Reihenfolge in der Integration, und den Satz über die Trans- 
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