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Dritter Abschnitt. § 7. 
Wir betrachten jetzt die Gesamtheit aller Punkte, welche der 
Gleichung genügen; 
(6) 2^hxx l x% = 0. 
I, X = 1 . . . n+1 
Wenn irgend zwei Punkte x' und x" gegeben sind, so er 
geben sich diejenigen Punkte ihrer Verbindungsgeraden, welche 
dem Gebilde angehören, durch Auflösung der Gleichung: 
Ha ix (xi' + 2x t ") (xx + Ax*") = 0, 
welche die Form annimmt: 
(7) X 2 2Ja.ixXc"xx" -f- 2A2aixXi'x x " -f- HalxXl'xx" — 0. 
Da diese Gleichung zwei Wurzeln hat und demnach jede 
Gerade zwei (reelle, imaginäre oder zusammenfallende) Punkte 
mit dem Gebilde (6) gemeinschaftlich hat, so heilst es ein Gebilde 
zweiter Ordnung. 
Sind die Wurzeln der vorliegenden Gleichung /h und 
so ist das Doppelverhäitnis der Schnittpunkte zu den gegebenen 
Punkten di :l 2 . Damit dasselbe ein harmonisches werde, mufs 
: X 2 — — 1 oder / x — 0 sein. Soll aber in einer quadra 
tischen Gleichung die Summe der Wurzeln verschwinden, so 
mufs der Koeffizient der ersten Potenz der Unbekannten gleich 
null sein. Dies giebt die Bedingung; 
(8) HaixXi'xx" — 0. 
Betrachten wir hierin x' als gegeben, aber x" als beliebig, so 
stellt die Gleichung: 
(9) Hxi'xx = 0 
LX 
eine Ebene dar, welche die Eigenschaft hat, dafs die Verbindungs 
gerade eines jeden ihrer Punkte mit dem Punkte x' durch die 
Schnittpunkte harmonisch geteilt wird. Diese Ebene heifst die 
Polarebene in Bezug auf das quadratische Gebilde (6) für den 
Punkt x' als Pol. 
Dadurch ist es möglich, die Polareigenschaften der Flächen 
zweiten Grades auf die hier betrachteten analytischen Beziehungen 
zu übertragen. Ich erinnere nur an folgenden Satz: 
Ist eine v- dimensionale Ebene Ev und ein Gebilde zweiter 
Ordnung gegeben, so gehen die (n — I) - dimensionalen Polar 
ebenen der Punkte von E^ durch eine Ebene E' n —v—i von n—v—1 
Dimensionen; konstruiert man die Polarebenen zu den Punkten 
von E n _j>_i, so gehen sie sämtlich durch die Ebene Ev.