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Dritter Abschnitt. § 7. 
hindurch. Sucht man aber die Polarebene zu einem Punkte dieser 
Ebene; ' = x 2 ' = .. . x e ' == 0, x e+1 ', x e 4- 2 '.. • x n+1 , so wird die 
selbe unbestimmt. Sollen umgekehrt diese beiden Eigenschaften 
für die Punkte einer (n — e)-dimensionalen Ebene gelten, so 
mufs die angegebene Darstellung möglich sein. Daraus folgt 
dann, dafs die Zahl der verschwindenden Quadrate ganz unab 
hängig ist von der Wahl der hierzu geeigneten Variabein. 
Demnach unterscheiden wir zwei Gattungen von quadra 
tischen Gebilden, die Kegelgebilde und die eigentlichen Gebilde 
zweiter Ordnung. Jedes Kegelgebilde hat eine singuläre Ebene, 
für deren Punkte die Polarebene unbestimmt wird, während die 
Polarebenen aller andern Punkte durch die singuläre Ebene hin 
durchgehen. Die Kegelgebilde zweiter Ordnung werden nach 
der Zahl der Dimensionen der singulären Ebene eingeteilt, und 
man unterscheidet Kegelgebilde mit einer Spitze, einer Doppel 
geraden, einer Doppelebene von zwei, drei u. s. w. Dimensionen. 
Wenn die Gleichung eines eigentlichen quadratischen Ge 
bildes lauter Quadrate enthält, also die Form hat 
(10) J?a t Xi 2 = 0, 
so können wir jedem einzelnen Koeffizienten den Wert -j- 1 oder 
— 1 beilegen. Stellt man die Gleichung durch irgend andere 
n -f-1 Quadrate dar, so bleibt die Zahl der positiven und der 
negativen Zeichen ungeändert (Baltzer, Determinanten, § 13, 15). 
Man kann also die eigentlichen Gebilde zweiten Grades einteilen 
nach der Zahl der positiven und negativen Quadrate, durch welche 
sie sich darstellen lassen; und da man die linke Seite von (10) 
mit —1 multiplizieren kann, erhält man ^ oder n Arten 
von verschiedenen Gebilden. 
Wir schreiben die Gleichung (10) in der Form; 
Xl 2 —X 2 2 +X 3 2 — X 4 2 -f ... +X 2 p-! 2 —X 2 ? 2 +X 2 (>+! 2 -f-... +x n+ i 2 = 0, 
wo die Vorzeichen aller Quadrate bis auf die von x 2 , x 4 ...x 2i > 
positiv sind. Aus dieser Gleichungsform ersieht man, dafs die 
Ebene 
Xi X 2 , X 3 X 4 . . . X 2 p—i X 2 p, X 2 (;_)_i — ... — x n+1 — 0, 
welche {q — 1)-dimensional ist, dem Gebilde angehört. Min 
destens eine solche Ebene geht aber durch jeden Punkt des 
Gebildes. Wir können daher sagen: